Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Separável

Ver Teoria
Exercício 102123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Prova P1 Cálculo 2 2017.1 UFRJ – questão

Se y é a solução do problema de valor inicial

d y d x +   e x y 2 = 0

y 0 = 1

Então é errado afirmar que

  1. y ( 1 ) < 1
  2. y é limitada
  3. y é decrescente
  4. y x > 0 para todo x ∈ R
  5. lim x → ∞ ⁡ y ( x ) = 0

Passo 1

Pelo que conhecemos de EDO, seria excelente se esta fosse separável, não é mesmo ?!

Vamos tentar escrevê-la neste formato charmoso:

d y d x = f x g ( y )

Arrumando ...

d y d x =   - e x y 2

Pronto! Ela é separável !!

Passo 2

Vamos multiplicar cruzado separando tudo que depende de x de tudo que depende de y!

d y y 2 =   - e x d x

Passo 3

Agora, integramos os dois lados.

∫ d y y 2 =   - 1 y

∫ - e x d x =   - e x

Vamos deixar para colocar as constantes de integração depois, fera!

Passo 4

Igualando as duas integrais e adicionando a constante C.

- 1 y =   - e x + C

Passo 5

Explicitando y ( x ) ...

y = 1 e x - C =   1 e x + D

Passo 6

Agora só falta resolver o PVI. Aplicando que y = 1   e   x = 0  

1 =   1 e 0 + D =   1 1 + D

1 + D =   1 ∴ D = 0

y =   e - x

Passo 7

Vamos calcular o que enunciado pede:

y =   e - x é decrescente, então a ( c ) tá certa.

y =   e - x também é positiva para todo x , então ( d ) também tá certa.

y 1 = 1 e < 1 , então (a) tá certa.

E lim x → ∞ ⁡ e - x = 0 , então (e) também tá certa.

Mas e - x não é limitada. Logo, ( b ) é errada.

Resposta

A letra ( b) é errada.

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du