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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

( b ) Use a substituição z = y + x + 1 (redução de ordem), obtenha a solução para a seguinte EDO de 1 ª ordem y = y ( x ) , e responda se a solução obtida é implícita ou explícita:

d y d x = y + x + 1 2 - x - y y + x + 1

Passo 1

Bom, se z = y + x + 1 , derivando em ambos os lados com respeito a x :

d z d x = d y d x + 1 → d y d x = d z d x - 1

Além disso, podemos escrever o seguinte:

- x - y = 1 - z

Passo 2

Agora vamos substituir todas as expressões na EDO:

d y d x = y + x + 1 2 - x - y y + x + 1

d z d x - 1 = z 2 + 1 - z z

Arrumando os termos, temos que:

d z d x - 1 = z 2 + 1 z - z z

d z d x - 1 = z 2 + 1 z - 1

d z d x = z 2 + 1 z

Passo 3

Dá só uma olhada! É uma EDO de variáveis separáveis!!!

Então vamos separar as variáveis:

z z 2 + 1 d z = d x

Integrando em ambos os lados:

∫ z z 2 + 1 d z = ∫ d x

Vamos resolver a primeira integral separadamente.

Passo 4

∫ z z 2 + 1 d z

Para resolver essa integral, usaremos a regra da substituição. Chamando:

u = z 2 + 1

d u = 2 z d z

Substituindo na integral:

∫ z z 2 + 1 d z = ∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Voltando para a variável inicial:

1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ z 2 + 1

Então:

∫ z z 2 + 1 d z = 1 2 ln ⁡ z 2 + 1

Passo 5

Voltando para a integral inicial:

∫ z z 2 + 1 d z = ∫ d x

1 2 ln ⁡ z 2 + 1 = x + C

Maneiro!!! Agora vamos isolar z :

ln ⁡ z 2 + 1 = 2 x + C

Lembrando que 2 vezes uma constante continua sendo uma constante, então manteremos a notação C para a constante!

z 2 + 1 = e 2 x + C

z 2 = K e 2 x - 1

z = ± K e 2 x - 1

Passo 6

Finalmente, vamos descobrir quem é y ( x ) :

z = y + x + 1

± K e 2 x - 1 = y + x + 1

y x = - x - 1 ± K e 2 x - 1

Com solução explicita, uma vez que isolamos o y x .

Resposta

y x = - x - 1 ± K e 2 x - 1

Solução explicita.

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