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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

a )   y ' = x y + 2 y - x - 2 x y - 3 y + x - 3

Passo 1

Bem, eu não sei você, mas eu estou sentindo um cheiro de EDO por separação de termos!

y ' = x y + 2 y - x - 2 x y - 3 y + x - 3     →

Se fatorarmos tanto esse denominador quando o nominador...

y ' = x + 2 y - 1 x - 3 y + 1     →

ARRA! Podemos de fato jogar tudo que é x para um lado e tudo que é y no outro...

y + 1 y - 1 y ' = x + 2 x - 3  

Partiu resolvermos isso?

Passo 2

Lembrando-se de que y ' = d y / d x podemos passar esse d x para o outro lado multiplicando e vamos chegar nisso aqui:

y + 1 y - 1 d y d x = x + 2 x - 3     →

y + 1 y - 1 d y = x + 2 x - 3 d x     →

Integrando os dois lados...

∫ y + 1 y - 1 d y = ∫ x + 2 x - 3 d x       →

Então para resolvermos essas integrais de uma forma mais easy, que tal usarmos uma mágica? Vamos somar e subtrair um número que somado com 1 por exemplo nessa primeira integral dê o y - 1 ...

∫ y + 1 - 2 + 2 y - 1 d y = ∫ x + 2 - 5 + 5 x - 3 d x       →

∫ y - 1 + 2 y - 1 d y = ∫ x - 3 + 5 x - 3 d x       →

Agora podemos separar em duas expressões bem integráveis...

∫ 1 + 2 y - 1 d y = ∫ 1 + 5 x - 3 d x       →

E a solução que chegamos é...

y + 2 ln ⁡ y - 1 = x + 5 ln ⁡ x - 3 + C  

Resposta

y + 2 ln ⁡ y - 1 = x + 5 ln ⁡ x - 3 + C  

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du