Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

e * x * y' = 2 * raiz(y - 1)

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

x y '   = 2 y - 1

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y . E para isso vamos trocar y ' = d y d x para termos os diferenciais!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

x y ' = 2 y - 1

x d y d x = 2 y - 1

Reorganizando os termos:

1 y - 1 d y = 2 x d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y - 1 d y = ∫ 2 x d x

2 y - 1 + K 1 = 2 ln ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes de um lado só: K 3 = K 2 - K 1

2 y - 1 = 2 ln ⁡ x + K 3

y - 1 = ln ⁡ x + K 3 2

Fazendo C = K 3 / 2

y - 1 = ln ⁡ x + C

y - 1 = ln ⁡ x + C 2

y = ln ⁡ x + C 2 + 1

Resposta

y = ln ⁡ x + C 2 + 1

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