Ache a solução da equação
Que satisfaz a condição
Passo 1
Bom, essa é uma EDO de primeira ordem, certo? Porque ela tem a primeira derivada como a derivada de maior ordem!
Além disso, ela é de variáveis separáveis. Lembra como é essa coisa? Ela tem essa cara:
Daí, a ideia é deixar assim:
Por isso separáveis.
Passo 2
No nosso caso, ela fica desse jeitinho
Integrando...
Tá meio esquisita essa integral do lado esquerdo né? Vamos trabalhar um pouco nela.
Nosso problema agora é descobrir quem é e quem é , pois aí essa integral fica bem mais fácil!
Passo 3
Beleza, até aqui a gente manipulou essas continhas. O importante é a gente ver que o numerador desse termo tem que ser IGUAL ao termo que estava originalmente na nossa integral.
Sendo assim, pra respeitar essa igualdade, é necessário que o termo independente seja igual a e o termo dependente seja igual a Então:
Substituindo na nossa integral, ficamos com:
Beleza, agora vamos voltar pro que interessa.
Passo 4
Pela propriedade de logaritmos,
Agora, tá vendo aquele ? Cara, a gente sabe que exponenciais NUNCA assumem valores negativos, então o que a gente vai fazer é: se , a parte esquerda da equação é negativa, então a parte direita também tem que ser, portanto . Porém, se , a parte esquerda da equação é positiva, e então . Logo, vamos simplesmente abstrair esse sinal e considerar o sinal apenas olhando pro dado. Nossa equação fica:
Usando a informação de que . Perceba que , então nossa constante será positiva.
Portanto, nossa equação é da forma: