Ache a solução da equação

dN/dt(t) = N(t) - N²(t)

Que satisfaz a condição N(0) = 1 / 2

Passo 1

Bom, essa é uma EDO de primeira ordem, certo? Porque ela tem a primeira derivada como a derivada de maior ordem!

Além disso, ela é de variáveis separáveis. Lembra como é essa coisa? Ela tem essa cara:

d y d x = f x . g ( y )

Daí, a ideia é deixar assim:

1 g y d y = f x d x

Por isso separáveis.

Passo 2

No nosso caso, ela fica desse jeitinho

1 N t - N 2 t d N = d t

Integrando...

∫ 1 N t - N 2 t d N = ∫ 1 d t

Tá meio esquisita essa integral do lado esquerdo né? Vamos trabalhar um pouco nela.

∫ 1 N t 1 - N t d N = ∫ 1 d t

∫ 1 N t 1 - N t d N = ∫ A N ( t ) + B 1 - N t d N

Nosso problema agora é descobrir quem é A e quem é B , pois aí essa integral fica bem mais fácil!

Passo 3

A N ( t ) + B 1 - N t = A 1 - N t + B N t N t 1 - N t = N t B - A + A N t 1 - N t

Beleza, até aqui a gente manipulou essas continhas. O importante é a gente ver que o numerador desse termo tem que ser IGUAL ao termo que estava originalmente na nossa integral.

N t B - A + A N t 1 - N t = 1 N t 1 - N t

Sendo assim, pra respeitar essa igualdade, é necessário que o termo independente seja igual a 1 e o termo dependente seja igual a 0 . Então:

B - A = 0

A = 1 → B = 1

Substituindo na nossa integral, ficamos com:

∫ A N ( t ) + B 1 - N t d N = ∫ 1 N ( t ) + 1 1 - N t d N

Beleza, agora vamos voltar pro que interessa.

∫ 1 N t + 1 1 - N t d N = ∫ 1 d t

ln ⁡ N t - ln ⁡ 1 - N t = t + C

Passo 4

Pela propriedade de logaritmos,

ln ⁡ N t - ln ⁡ 1 - N t = t + C → ln ⁡ N t 1 - N t = t + C

N t 1 - N t = e t C

N t 1 - N t = ± e t C

Agora, tá vendo aquele ± ? Cara, a gente sabe que exponenciais NUNCA assumem valores negativos, então o que a gente vai fazer é: se N t > 1 , a parte esquerda da equação é negativa, então a parte direita também tem que ser, portanto C < 0 . Porém, se N t < 1 , a parte esquerda da equação é positiva, e então C > 0 . Logo, vamos simplesmente abstrair esse sinal e considerar o sinal apenas olhando pro N ( t ) dado. Nossa equação fica:

N t = e t C 1 + e t C

Usando a informação de que N 0 = 1 2 . Perceba que N 0 < 1 , então nossa constante será positiva.

N 0 = C 1 + C = 1 2

C = 1

Portanto, nossa equação é da forma:

N t = e t 1 + e t

Resposta

N t = e t 1 + e t

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