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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

y ' y = x 1 - y 2

y 0 = 1 2

Passo 1

Primeiro vamos reescrever essa EDO fazendo

y ' = d y d x

d y d x y = x 1 - y 2

Repara que temos dos dois lados um produto de funções de x e y . Essa equação é separável

Passo 2

Agora temos que isolar os termos com y para o lado que tem e os termos com x do outro

d y d x y = x 1 - y 2

⇒ y d y 1 - y 2 = x d x

Passo 3

Agora, temos que integral os dois lados

∫ y d y 1 - y 2 = ∫ x d x

A integral de x é tranquilinha de resolver.

∫ x d x = x 2 2 + C 1

Vamos agora integrar a de y que é um pouco mais complicadinha

∫ y d y 1 - y 2

Temos que fazer a substituição

1 - y 2 = u

Fazemos isso para tirar essa subtração de dentro da raiz, e porque a sua derivada vai ser algo parecido com a parte de cima, derivando vamos ver

- 2 y d y = d u

y d y = - d u 2

Substituindo na integral

∫ y d y 1 - y 2 = ∫ - d u 2 u = - 1 2 ∫ u - 1 / 2 d u

- 1 2 ∫ u - 1 / 2 d u = - 1 2 u 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = - 1 2 u 1 / 2 1 2 = - u 1 / 2 + C 2

Voltando para y

- u 1 / 2 + C = - 1 - y 2 1 / 2 + C 2

Passo 4

Voltando para as integrais vamos ter

∫ y d y 1 - y 2 = ∫ x d x

- 1 - y 2 1 / 2 + C 2 = x 2 2 + C 1

Juntando as duas constantes vamos ter

- 1 - y 2 1 / 2 = x 2 2 + C

Passo 5

Vamos usar a condição inicial agora

y 0 = 1 2

Vamos ter

- 1 - 1 2 2 1 / 2 = 0 2 2 + C

C = - 1 - 1 4 1 / 2 = - 3 4 1 / 2

C = - 1 - 1 4 1 / 2 = - 3 4

Passo 6

- 1 - y 2 1 / 2 = x 2 2 - 3 2

Infelizmente temos que isolar y nessa função porque ele pediu né =/

- 1 - y 2 1 / 2 = x 2 2 - 3 2

Elevando ao quadrado

⇒ 1 - y 2 = x 2 2 - 3 2 2

⇒ - y 2 = - 1 + x 2 2 - 3 2 2

⇒ y 2 = 1 - x 2 2 - 3 2 2

⇒ y = ± 1 - x 2 2 - 3 2 2

Vamos verificar qual dois dois sinais é o que queremos. Para isso usamos a condição inicial, vamos calcular y para x = 0

y = ± 1 - 0 2 2 - 3 2 2 = ± 1 - 3 4 = ± 1 4 = ± 1 2

Como o valor de y , neste ponto, deve ser positivo, vamos ter a função sendo

y = 1 - x 2 2 - 3 2 2

Resposta

y = 1 - x 2 2 - 3 2 2

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