Encontre todas a soluções da EDO:

y ' + y 2 + 3 y + 2 = 0

Passo 1

Antes de começar, reaparece o seguinte. Se tivermos: y ' = 0

Então:

y 2 + 3 y + 2 = 0

Que é uma equação de segundo grau normal. Resolvendo-a, temos:

y 2 + 3 y + 2 = 0

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 1 = - 3 ± 1 2

y 1 = - 2 y 2 = - 1

Assim, vamos ter que y = - 1 e y = - 2 satisfazem essa equação. Além disso, como são constantes:

d y d x = 0

Portanto, esses valores são solução do problema!

Passo 2

Agora vamos procurar soluções que não sejam constantes. Podemos reescrever a equação na forma:

d y d x + y 2 + 3 y + 2 = 0

Aí vem novamente a pergunta, será que é uma equação separável? Bem, podemos jogar tudo para o outro lado:

d y d x = - y 2 - 3 y - 2

E separar:

- d y y 2 + 3 y + 2 = d x

Então é uma EDO separável.

Passo 3

Para resolver então aplicamos a integral dos dois lados da equação: - ∫ d y y 2 + 3 y + 2 = ∫ d x

Como resolver essa integral aí à esquerda? Bem, já encontramos as raízes do polinômio, assim vamos ter:

- ∫ d y y 2 + 3 y + 2 = - ∫ d y y + 2 y + 1

E vamos usar agora o método das frações parciais para resolver essa integral. Escrevemos: 1 y + 2 y + 1 = A y + 2 + B y + 1

Para encontrar as constantes A e B , juntamos tudo novamente:

A y + 2 + B y + 1 = A y + 1 + B y + 2 y + 2 y + 1 = A + B y + A + 2 B y + 2 y + 1 = 0 y + 1 y + 2 y + 1

Agora, comparando os coeficientes, temos o sistema: A + B = 0 A + 2 B = 1

A = - B

- B + 2 B = 1 ⟹ B = 1

A = - 1

Assim, nossa integral vai ficar:

- ∫ d y y + 2 y + 1 = ∫ d y y + 2 - ∫ d y y + 1 = ln ⁡ y + 2 - ln ⁡ y + 1 + C 1

= ln ⁡ y + 2 y + 1 + C 1

E a integral à direita na EDO:

∫ d x = x + C 2

Passo 4

Maneiro, assim nossa equação vai ficar:

ln ⁡ y + 2 y + 1 + C 1 = x + C 2

Para ficar igual ao gabarito oficial, vamos aplicar a exponencial:

e ln ⁡ y + 2 y + 1 e c 1 = e x e C 2

y + 2 y + 1 = e C 2 - C 1 e x

Definimos c : = e C 1 - C 2 :

y + 2 y + 1 = C e x

Agora vamos separar esse y aí. Para isso, consideramos u ≔ y + 1 , aí vai ficar:

u + 1 u = 1 + 1 u = C e x ⟹ 1 u = C e x - 1

Voltando para y + 1 :

1 y + 1 = C e x - 1

y + 1 = 1 C e x - 1

y = 1 C e x - 1 - C e x - 1 C e x - 1 = C e x - 2 1 - C e x

Assim nossa solução será: y = C e x - 2 1 - C e x

Resposta

y = - 2

y = - 1

y = C e x - 2 1 - C e x

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du