Encontre todas a soluções da EDO:
Passo 1
Antes de começar, reaparece o seguinte. Se tivermos:
Então:
Que é uma equação de segundo grau normal. Resolvendo-a, temos:
Assim, vamos ter que e satisfazem essa equação. Além disso, como são constantes:
Portanto, esses valores são solução do problema!
Passo 2
Agora vamos procurar soluções que não sejam constantes. Podemos reescrever a equação na forma:
Aí vem novamente a pergunta, será que é uma equação separável? Bem, podemos jogar tudo para o outro lado:
E separar:
Então é uma EDO separável.
Passo 3
Para resolver então aplicamos a integral dos dois lados da equação:
Como resolver essa integral aí à esquerda? Bem, já encontramos as raízes do polinômio, assim vamos ter:
E vamos usar agora o método das frações parciais para resolver essa integral. Escrevemos:
Para encontrar as constantes e , juntamos tudo novamente:
Agora, comparando os coeficientes, temos o sistema:
Assim, nossa integral vai ficar:
E a integral à direita na EDO:
Passo 4
Maneiro, assim nossa equação vai ficar:
Para ficar igual ao gabarito oficial, vamos aplicar a exponencial:
Definimos :
Agora vamos separar esse aí. Para isso, consideramos , aí vai ficar:
Voltando para :
Assim nossa solução será: