Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(a)

y ' - x y 2 = x

y 0 = 1

Passo 1

  1. Para resolver a EDO vamos reescreve-la de maneira esperta

y ' - x y 2 = x ⇒ y ' = x + x y 2 ⇒ y ' = 1 + y 2 x

⇒ d y 1 + y 2 = x d x

Agora integrando ambos os lados, ficamos com

∫ d y 1 + y 2 = ∫ x d x

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente e depois igualar o resultado.

A integral da direita é

∫ x d x = x 2 2 + C

E a integral da esquerda é uma integral que conhecida,

∫ d y 1 + y 2 = arc tan ⁡ y + C

Passo 2

Então igualando as duas, temos

arc tan ⁡ y = x 2 2 + C

⇒ y = tan ⁡ x 2 2 + C

Agora usando a condição inicial y 0 = 1 , ficamos com

1 = y 0 = tan ⁡ C

⇒ C = π 4

Portanto a solução é dada por

y = tan ⁡ x 2 2 + π 4

Resposta

(a)

y = tan ⁡ x 2 2 + π 4

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