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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 2 – Questão 10

A solução do problema de valor inicial

y ' = e - x - e x 3 + 4 y ,   y 0 = 1

É:

  1. - 3 4 + 1 4 65 - 8 e x - 8 e - x
  2. - 3 4 - 1 4 65 - 8 e x - 8 e - x
  3. - 3 4 + 1 4 65 - 8 e x - 8 e - x + C
  4. - 3 4 - 1 4 65 - 8 e x - 8 e - x + C

Passo 1

Oi, tudo certinho?

Vamos fazer juntos?

Cola aqui!

Pra resolver esse PVI vamos separar essas variáveis: deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro:

y ' = e - x - e x 3 + 4 y

Trocando y ' por d y d x temos o seguinte:

d y d x = e - x - e x 3 + 4 y

E agora tudo que tem y pra esquerda e tudo que tem x pra direita:

( 3 + 4 y )   d y = ( e - x - e x ) d x

E integrar dos dois lados:

∫ ( 3 + 4 y ) d y = ∫ ( e - x - e x ) d x

3 y + 4 y 2 2 = - e - x - e x + C

2 y 2 + 3 y = - e - x - e x + C

Belezinha?

Passo 2

Agora vamos descobrir qual é essa constante:

y 0 = 1

2 y 2 + 3 y = - e - x - e x + C

2 . 1 2 + 3 1 = - e 0 - e 0 + C

2 + 3 = - 2 + C

C = 5 + 2 = 7

Tranquilo?

Passo 3

Agora a solução é:

2 y 2 + 3 y = - e - x - e x + 7

E pode ser escrita assim

y 2 + 3 2 y = 1 2 - e - x - e x + 7

Agora é só isolar o y (completando quadrado em y):

y 2 + 3 2 y + 9 16 - 9 16 = 1 2 - e - x - e x + 7

y + 3 4 2 = - e - x - e x 2 + 7 2 + 9 16

Multiplicando tudo por 16 :

16 y + 3 4 2 = - 8 e - x - 8 e x + 56 + 9

E tirando a raiz dos dois lados:

4 y + 3 4 = 65 - 8 e - x - 8 e x

Agora é só isolar o y :

y + 3 4 = 1 4 65 - 8 e - x - 8 e x

y = - 3 4 + 1 4 65 - 8 e - x - 8 e x

Notem que não temos um + C pendurado na nossa solução: isso é porque temos um PVI, com uma condição inicial que nos determina quem é esse C .

Assim a alternativa com essa resposta é (a)

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

a

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du