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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 7b

Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

b ) 2 x y = y '

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

2 x y = y '

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y . E para isso vamos trocar y ' = d y d x para termos os diferenciais!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar trocando y ' = d y d x

2 x y = y '

d y d x = 2 x y

E passando tudo que tem y pra um lado e tudo que tem x pro outro

d y y = 2 x   d x

Beleza?

Agora é só integrar!

ln ⁡ y = x 2 + C

ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos isolar a solução y

ln ⁡ y = x 2 + C

y = e x 2 + C

Podemos chamar e C ≡ c

Aí nossa solução geral fica

y = c e x 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c e x 2

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du