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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Passo 1

Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável que a gente já conhece.

Então, vamos arrumar nossa EDO:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 2 x 2

Trocando o x 2 com o y do outro lado:

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.

Passo 2

Vamos integrar cada lado da equação separado. Dessa forma:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Tomando u = ln ⁡ x e d v = x 2 dx , teremos:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x   =   ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9    

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9

Passo 3

Integrando o outro lado da equação:

∫ y + 1 2 y d y = ∫ y 2 + 2 y + 1 y d y = ∫ y 2 y d y + ∫ 2 y y d y + ∫ 1 y d y

Resolvendo essas integrais simples, teremos:

∫ y + 1 2 y d y = y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y

Passo 4

Igualando as duas integrais obtidas, temos

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D  

Onde D é uma constante. Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.

Resposta

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D

Onde D é uma constante

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