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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Lista de Integral e EDO – Questão 7h

Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

h ) e x d x - y   d y = 0 y 0 = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

e x d x - y   d y = 0 y 0 = 1

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de x e do outro só de y .

Beleza?

É isso! Bora lá? Ah, nessa equação temos uma condição inicial, então podemos determinar a constante de integração no final!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

e x d x - y d y = 0

Reorganizando os termos:

e x d x = y d y

Passo 3

Integrando os dois lados:

∫ e x d x = ∫ y d y

e x + K 1 = y 2 2 + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 2 - K 1

e x = y 2 2 + C

Passo 4

Como temos a condição inicial y 0 = 1   substituímos na equação e achamos a constante:

e 0 = ( 1 ) 2 2 + C

1 = 1 2 + C

C = 1 2

Voltando pra equação:

e x = y 2 2 + 1 2

y 2 = 2 e x - 1

Resposta

y 2 = 2 e x - 1

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du