UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 2 – Questão 14
Marque a alternativa que contenha a solução geral da equação diferencial separável
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
o problema nos disse que essa é uma equação diferencial separável, então isso significa que podemos separar as variáveis da equação!
Ou seja, podemos colocar tudo que depende apenas de uma variável para um lado e tudo que dependa outra pro outro. Dessa forma, tem um teorema que nos diz que podemos integrar dos dois lados sem problemas. Mas só quando for separável, ok? Só quando tivermos de um lado só coisas com e do outro lado tudo com . Aí é só integrar dos dois lados!
Tranquilo?
Passo 2
A ideia aqui é resolver a equação diferencial da seguinte forma:
- passar tudo que tem para um lado e tudo que tem do outro;
- integrar de um lado e depois do outro (pra ficar mais organizado, um lado de cada vez)
- juntar as respostas
- não esquecer de colocar no final! Esse não é um problema de valor inicial!
E é isso! Vamos lá?
A equação diferencial:
Agora vou passar multiplicando para a direita o e dividindo o . E vou passar para a esquerda o termo multiplicando:
Pronto! Ficamos com funções só de de um lado e só de do outro! Agora é partir pra integração!
Passo 3
Começando com a integral em :
Como não tem nenhuma substituição (alguma função é a derivada da outra ali) vou fazer por partes. Lembrem-se que precisamos escolher como função uma que seja fácil de integrar o seu depois. Com isso vou escolher como e o :
E a integração por partes é:
Belezinha?
Passo 4
Agora vamos integrar em . Do lado direito temos:
Abrindo o produto notável
E separando em 3 frações no integrando
Agora vamos para a integração
Daí
Passo 5
Vamos juntar as duas respostas! A gente tinha:
E com as respostas dos passos anteriores temos:
ENÃO ESQUECER DE COLCOAR O NO FINAL!
Pronto! É essa nossa solução!
E a alternativa correta é a (d)
Beleza?
Resposta
(d)