Fazendo a mudança de variável , resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Então, vamos começar fazendo a substituição que o problema pediu para gente, mas, para isso, vamos ter que escrever:
Em função de . Conseguimos fazer isso derivando dado:
Lembre-se que vai aparecer o por conta da regra da cadeia, blz? Assim, isolando-o, temos:
Show. Já podemos fazer a substituição. Termo a termo, temos:
Ou seja:
Dividindo tudo por para deixar a derivada sozinha na dela:
Sendo a condição inicial:
Ou seja, vamos ter o PVI:
Passo 2
Legal, esse é uma EDO do tipo separável. Rescrevendo nosso problema, temos:
Repare que este é um problema na forma:
Com:
Ou seja, esta é uma EDO linear! Assim, teremos solução na forma:
Em que é o fator integrante dado por:
Passo 3
Legal, então vamos começar pelo fator integrante:
Antes de sair cortando a exponencial com o logaritmo, vamos cuidar deste sinal aí:
Agora sim:
Assim, sem a constante mesmo, porque ela já está aparecendo na solução final.
Passo 4
Calculado o valor integrante, vamos determinar:
Substituímos o que temos:
Novamente sem a constante.
Passo 5
Substituindo o que encontramos, temos:
Passo 6
Agora, como o problema nos deu uma condição inicial, podemos calcular o valor da constante. Substituindo o dado:
Logo:
Passo 7
Achamos nosso querido , mas vamos determinar agora o que é o problema quer de fato. Como, por definição:
Então, temos:
E está é a solução que o problema pediu.
Passo 8
Não precisa seguir para terminar a questão, mas se quiser ter certeza, veja que:
Assim, vamos ter:
Como a equação é verdadeira, o valor que encontramos é solução da EDO 😊