Resolva a seguinte equação diferencial:

Então, vamos integrar dos dois lados:

Vamos começar pela integral em função de

Para resolver a primeira integral podemos fazer uma substituição simples!

Vamos chamar . Então nossa substituição ficará,

Substituindo isso na primeira integral:

Nunca esqueça de substutuir o de volta!

A segunda integral é mais complicada, né?

Caso você não lembre de frações parciais, aconselho que dê uma relembrada, ela é bem útil, e usaremos ela nesse caso! Basicamente você tem que analisar se o grau do polinômio no numerador é menor do que o do denominador, caso seja, a gente pode transformar essa fração em uma soma de frações mais simples (isso se o denominador não for irredutível), então vamos lá:

Como é um polinômio do primeiro grau, o numerador só fica com uma constante , mas para o numerador fica como um polinômio genérico do primeiro grau . Para essa relação ser válida:

Substituindo isso na integral:

A primeira integral é:

A segunda pode ser feita por uma substituição simples! Chame de , substituindo:

Assim a integral fica:

Por fim, substituindo os resultados obtidos na equação :

Esse é uma constante qualquer, ela aparece porque as integrais são indefinidas, eu defini ela como e não somente um porque assim a gente vai poder fazer uns algebrismos para colocar o em evidência. Não se assuste com isso, vamos usa muito essa técnica e você vai ficar craque!

Devemos arrumar a equação para obter um resultado mais bonito né, galera. Então, vamos usar o algebrismo, usando a propriedade do logaritmo de que:

(Regra do Peteleco!), logo:

Assim usando uma propriedade do logaritimo () :

Assim:

Bem, sabemos que certo?

Para essa relação ser valida, então : , pois a fração sempre tem que ser maior que 1 para o numerador não ficar negativo, já que o denominador necessariamente é positivo.

Com isso chegamos na resposta!