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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Seja y ( x ) a solução do problema de valor inicial

y ' + x y 2 = x ,     y 0 = 0

Quanto vale y ( 1 ) ?

  1. Nenhuma das demais respostas
  2. e + 1
  3. e - 1
  4. ( e - 1 ) / ( e + 1 )  
  5. ( e - 1 ) / e 2

Passo 1

Vamos escrever y ' = d y d x e vamos isolá-lo:

d y d x = x - x y 2

d y d x = x 1 - y 2

Separando as variáveis:

d y 1 - y 2 = x d x

Integrando:

∫ d y 1 - y 2 = ∫ x d x

Essa segunda integral sai moleza...

∫ d y 1 - y 2 = x 2 2 + C 1

Entretanto... A primeira integral já vai nos dar um certo trabalho =\ . Venha comigo !

Passo 2

Vamos resolver aquela primeira integral por frações parciais:

1 1 - y 2 = A 1 + y + B 1 - y

1 1 - y 2 = A 1 - y + B 1 + y 1 - y 2

1 1 - y 2 = y ( B - A ) + ( A + B ) 1 - y 2

Temos que:

A - B = 0 → A = B

A + B = 1 → 2 A = 1 → A = B = 1 2

Então:

∫ d y 1 - y 2 = 1 2 ∫ d y 1 + y + 1 2 ∫ d y 1 - y

Veja bem que a integral de

∫ d y 1 + y = ln ⁡ 1 + y

Agora, a segunda integral

∫ d y 1 - y = - ln ⁡ 1 - y

Cuidado pois aparece esse negativo aí, já que o y está negativo (e quando derivamos aplicando a regra da cadeia ele a fração deve ficar positiva, não é mesmo =) ). Portanto o resultado será...

∫ d y 1 - y 2 = 1 2 ln ⁡   1 + y - ln ⁡ 1 - y + C 2

Passo 3

Voltando para a resolução da EDO:

1 2 ln ⁡   1 + y - ln ⁡ 1 - y + C 2 = x 2 2 + C 1

Veja que C 1 - C 2 = C que é uma constante qualquer que surgiu das integrais ;)

ln ⁡   1 + y - ln ⁡ 1 - y = x 2 + C

ln ⁡ 1 + y 1 - y = x 2 + C

1 + y 1 - y = e x 2 + C

1 + y 1 - y = A e x 2

Agora, arrumando os termos:

1 + y = A e x 2 1 - y

y 1 + A e x 2 = A e x 2 - 1

y ( x ) = A e x 2 - 1 1 + A e x 2

Passo 4

Aplicando o valor inicial:

y 0 = 0

y 0 = A e 0 - 1 1 + A e 0 = 0

A - 1 1 + A = 0 → A - 1 = 0 → A = 1

Então a solução geral é:

y x = e x 2 - 1 1 + e x 2

Como ele quer:

y 1 = e - 1 1 + e

Resposta

Letra D

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du