Equações Separáveis, Fator Integrante
Indique qual das afirmativas abaixo é verdadeira.
(a) a equação não admite soluções constantes.
(b) toda solução da equação é uma função crescente.
(c) todas as outras afirmativas são falsas.
(d) a equação é linear
(e) a equação é separável.
Passo 1
Não tem jeito, temos que testar as alternativas uma por uma!
Alternativa (a):
Antes de sair resolvendo a EDO, podemos tentar achar um contraexemplo, nesse uma solução constante do tipo .
Podemos ver que , ou seja, , é uma solução constante da EDO!
Portanto, essa alternativa é falsa.
Passo 2
Alternativa (b):
Aqui novamente, não precisamos resolver a EDO! Ele quer saber se as funções solução da equação são crescentes. E como a gente sabe dizer se uma função é crescente? Se sua derivada é positiva! E justamente, ele deu a derivada:
Temos e
Ou seja, qualquer função solução é crescente, e a alternativa é verdadeira.
Passo 3
Alternativa (c):
Falsa, acabamos de ver que a alternativa (b) é verdadeira
Passo 4
Alternativa (d):
Uma equação é dita linear se pode ser escrita da forma:
E aqui temos
que não é linear pois do lado direito está uma função de , e não de .
Portanto, a alternativa é falsa.
Passo 5
Alternativa (e):
Uma equação é separável se podemos escrevê-la na forma:
E a equação dada é
uma soma e não um produto de funções.
Então a alternativa (e) também é falsa.
Resposta
Alternativa (b)