(b) Encontre uma solução para o problema de valor inicial:

Agora, vamos separar tudo que é função de de um lado e tudo que é função de de outro:

E então integramos:

Vamos ter:

Agora, o problema vai ser:

Parece interessante usar substituição aqui. Vamos fazer:

Assim, vamos ter:

E então:

Retornando para :

E agora a relação das integrais vai ficar:

Assim, vamos ter:

Para deixar bonito, definimos :

Como o problema nos deu o valor inicial, podemos determinar essa constante. Temos:

Então, substituindo:

Agora, jovem, qual ângulo cuja tangente dá 1?

. Então, vamos ter:

Já avançamos bastante, mas vamos tentar deixar o escrito explicitamente. Temos:

E então aplicamos a inversa do arco tangente, a tangente:

Agora, aplicamos a inversa da exponencial, ele mesmo, o logaritmo:

Legal?

Mas ainda não acabou! O problema pediu para gente determinar o domínio dessa solução. Para isso, vamos analisar a função com calma.

OK, precisamos sempre que o argumento do logaritmo seja positivo, então temos que:

Ou seja, a tangente tem que ser sempre positiva. O domínio da função tangente é o intervalo . Além disso:

E o é negativo em , dando valor negativo para a tangente neste intervalo. Portanto, vamos ter que o argumento da tangente tem que estar no intervalo .

Legal, assim vamos ter:

Portanto:

E esse será nosso domínio!