Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

y' = y^2 * (e^x + e^(-x))

Passo 1

O problema não nos deu condições de valor inicial. Então, vamos ter uma constante indeterminada no final.

Começamos com a seguinte pergunta: podemos separar x e y ?

A resposta é sim. Jogando o y 2 para o outro lado, vamos ter:

y ' y 2 = e x + e - x

Isso significa que temos aqui uma equação separável. Portanto, para resolver, começamos escrevendo:

y ' = d y d x

Assim, e então separamos d x de d y :

1 y 2 ⋅ d y d x = e x   + e - x

d y y 2 = e x   + e - x d x

Passo 2

Agora, para resolver, integramos dos dois lados: ∫ d y y 2 = ∫ e x   + e - x d x

Em que vamos ter, para o lado esquerdo: ∫ d y y 2 = - 1 y + C 1

Já para o lado direito:

∫ e x   + e - x d x = ∫ e x d x + ∫ e - x d x = e x - e - x + C 2

Passo 3

Opa! Agora vamos ter:

- 1 y + C 1 = e x - e - x + C 2

Então, para achar a solução y x basta isolarmos y x :

1 y = - e x + e - x + C 1 - C 2

Definindo C ≔ C 1 - C 2

y = 1 C - e x + e - x

Essa constante vai ficar indeterminada mesmo.

Resposta

y = 1 C - e x + e - x

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