Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Separável

Ver Teoria
Exercício 311234567891011121314151617181920212223242526272829303233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Passo 1

Nessa questão ele conta uma história, mas o que importa mesmo é resolvermos a EDO que ele deu no final.

d y d x = y × b 1 + b 2 x x × a 1 + a 2 y

Entretanto, para gente resolver essa equação estamos muito dependentes das constantes e vamos ter analisar três casos: a 1 ≠ 0   e   a 2 = 0 , a 1 = 0   e   a 2 ≠ 0 ,   a 1 ≠ 0   e   a 2 ≠ 0 .

Passo 2

Caso a 1 ≠ 0   e   a 2 = 0

Nessas condições a nossa EDO fica.

d y d x = y b 1 + b 2 x x a 1

Vamos manipular um pouco essa equação.

b 1 + b 2 x x a 1 d x = 1 y d y

Sabemos resolver essa equação separável facilmente agora. Integrando os dois lado da equação.

∫ b 1 + b 2 x x a 1 d x = b 1 a 1 ∫ 1 x d x + b 2 a 1 ∫ d x = b 1 a 1 ln ⁡ | x | + b 2 a 1 x

∫ 1 y d y = ln ⁡ y

Passo 3

Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração D

b 1 a 1 ln ⁡ x + b 2 a 1 x + C = ln ⁡ y

ln ⁡ x b 1 a 1 + ln ⁡ e b 2 a 1 x + D = ln ⁡ y

Tomando D = ln ⁡ C

ln ⁡ | C x b 1 a 1 e b 2 a 1 x | = l n ⁡ | y |

y = C x b 1 a 1 e b 2 a 1 x ,   C ∈ R

Passo 4

Caso a 1 = 0   e   a 2 ≠ 0

Nessas condições nossa EDO será.

d y d x = y b 1 + b 2 x x a 2 y = b 1 + b 2 x a 2 x

Essa equação é mais simples ainda. Integrando teremos.

y = ∫ b 1 + b 2 x a 2 x d x = 1 a 2   ∫ b 1 x d x + ∫ b 2 d x

y = = b 1 a 2 ln ⁡ | x | + b 2 a 2 x + C ,   C ∈ R

Passo 5

Caso a 1 ≠ 0   e   a 2 ≠ 0

Nessas condições a nossa EDO vai ser a equação inicial que manipulando teremos.

a 1 + a 2 y y d y = b 1 + b 2 x x d x

Integrando dos dois lados teremos.

∫ a 1 + a 2 y y d y = ∫ a 1 y d y + ∫ a 2 d y = a 1 ln ⁡ | y | + a 2 y

∫ b 1 + b 2 x x d x = ∫ b 1 x d x + ∫ b 2 d x = b 1 ln ⁡ x + b 2 x

Igualando as integrais e somando uma constante C teremos a solução implícita da nossa EDO.

a 1 ln ⁡ | y | + a 2 y = b 1 ln ⁡ x + b 2 x + C

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du