Considere a equação diferencial
Ache a solução geral.
Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial .
Passo 1
a) A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável.
Olhando de primeira fica difícil ver isso. Mas vamos separar aquelas exponenciais
Agora repara que temos do lado direito uma função só com multiplicada por uma função só com , isso é a grande evidência disso.
Para começar a resolução devemos trocar por
Passo 2
Agora teríamos que isolar o termo , mas isso já está feito.
Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro
Vamos deixar isso com uma cara mais amigável
Passo 3
Agora temos que aplicar a integral dos dois lados
O lado esquerdo fica tranquilinho,
Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo
Passo 4
Queremos resolver essa integral
Vamos resolver isso por partes
A nossa integral vai ficar
Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer, então vamos ter
Passo 5
Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar
Vamos tornar a solução explícita. Para isso, aplicamos o em ambos os lados.
Passo 6
b)
Ele disse no enunciado que
Então
Para achar o valor de vamos aplicar a exponencial em ambos os lados
A nossa função vai ficar
Resposta
a)
b)