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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

Seja a equação diferencial ordinária y ' t = 2 y t y t - 1 .

Obtenha a solução geral da EDO acima.

Passo 1

Colocar a derivada na forma d y d t em vez de y ' ( t ) e escrever apenas y em vez de y ( t ) :

d y d t = 2 y ( y - 1 )

Passo 2

Isolar o termo d y d t de um lado da equação e o resto do outro

Ok! Isso já está feito! Vamos para o próximo passo!

Passo 3

Multiplicar cruzado: para multiplicar cruzado, podemos reescrever a equação assim:

d y d t = 2 y ( y - 1 ) 1

Multiplicando cruzado:

d y = 2 y y - 1   d t

Passo 4

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem y para o lado do d y :

d y 2 y ( y - 1 ) = d t

⇒ d y y y - 1 = 2   d t

Observação: você poderia ter mantido o 2 no denominador, a resposta final é exatamente a mesma! Mas como o 2 não depende nem de t nem de y , tanto faz onde colocá-lo. Em geral, é mais prático deixá-lo no numerador, mas fica a seu critério!

Neste passo, como jogamos o termo y ( y - 1 ) para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero!

y ( y - 1 ) ≠ 0

Então y ≠ 0 e y ≠ 1 , ou seja: y ≠ 0,1

Passo 5

Integrar os dois lados:

∫ d y y y - 1 = ∫ 2   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 y y - 1 = A y + B y - 1

⇒ 1 y y - 1 = A ( y - 1 ) + B y y y - 1

⇒ 1 y y - 1 = A + B y - A y y - 1

Igualando os numeradores temos que

A + B = 0   - A = 1

Logo:

A = - 1 B = 1

Substituindo:

1 y y - 1 = - 1 y + 1 y - 1

Logo:

  ∫ d y y ( y - 1 ) = ∫ - 1 y + 1 y - 1 d y = - ∫ d y y + ∫ d y y - 1

Substituindo na primeira equação:

- ∫ d y y + ∫ d y y - 1 = ∫ 2   d t

Temos que

- ln ⁡ y + ln ⁡ y - 1 = 2 t + c

Lembrando que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b :

⇒ ln ⁡ y - 1 y = 2 t + c

Passo 6

Se necessário, isolar y ( x ) :

Como apareceu um ln ⁡   , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:

e ln ⁡ y - 1 y = e 2 t + c

⇒ e ln ⁡ y - 1 y = e 2 t ⋅ e c

⇒ y - 1 y = e 2 t ⋅ e c

⇒ y - 1 y = ± e c ⋅ e 2 t

Substituindo a = ± e c :

y - 1 y = a e 2 t

⇒ y - 1 = ( a e 2 t ) y

⇒ y - 1 - a e 2 t y = 0

⇒ 1 - a e 2 t y - 1 = 0

⇒ y = 1 1 - a e 2 t

Logo, a solução geral da EDO é

y t = 1 1 - a e 2 t

- ''

Resposta

y t = 1 1 - a e 2 t

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