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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Discursiva

1 . Resolva o problema de valores iniciais

t + 2 sen ⁡ x + t c o s   x x ˙ t = 0 x 0 = π 2

Passo 1

Nosso problema é uma EDO homogênea e precisamos ver a forma que vamos resolvê-la, para isso vamos mexer um pouquinho nela e ver se conseguimos simplificá-la.

t c o s   x x ˙ t = - t + 2 sen ⁡ x ⇒ d x d t = - t + 2 sen ⁡ x t cos ⁡ x = - t + 2 t tan ⁡ x

Fazendo mais umas manipulaçõezinhas temos:

1 tan ⁡ x   d x = - t + 2 t   d t

E com isso podemos ver que temos uma EDO separável e é bem simples de conseguir o resultado. Não acredita? Então vem comigo!

Passo 2

Vamos integrar a nossa EDO em ambos os lados, ou seja:

∫ 1 tan ⁡ x   d x = ∫ - t + 2 t   d t

∫ - t + 2 t   d t = - ∫ 1 + 2 t   d t = - t - 2 ln ⁡ t + c 1

∫ 1 tan ⁡ x   d x = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x   d x

Fazendo substituição simples s e n   x = u ,   d u = cos ⁡ x   d x

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + c 2 = ln ⁡ s e n   x + c 2

Igualando os dois:

ln ⁡ s e n   x + c 2 = - t - 2 ln ⁡ t + c 1 ⇒ s e n   x = e - t + ln ⁡ t - 2 +   C = e - t + C e ln ⁡ t - 2

Isolando o x temos que:

x = sen - 1 ⁡ e - t + C   t - 2

Passo 3

Agora que temos o nosso x t podemos fazer o PVI:

x 0 = π 2 ⇒ x 0 = sen - 1 ⁡ e - t + C t 2 = π 2  

Mas pera aí, se vocês olharem é impossível o t ser igual a zero e o x ser π / 2 na verdade é muito pior porque temos t no denominador e isso nitidamente não é possível então com toda certeza tem um erro de digitação no enunciado e por conta disso não poderemos resolver o PVI pois não sabemos a condição inicial do valor de t para esse resultado.

Resposta

Explicado acima

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du