Resolva o PVI

d y + 2 y - 1 d x = 0

y 0 = 1 2

Passo 1

Essa equação tá meio feinha de se olhar, mas repara que temos uma função só com y multiplicando o d x , isso nos dá um indício de que essa equação é separável. Vamos dividir todo mundo por d x para ver o que temos

d y d x + 2 y - 1 = 0

d y d x = - 2 y - 1

Ela é separável mesmo, então vamos resolver essa EDO

Passo 2

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 2 y - 1 = - d x

Agora vamos integrar dos dois lados

∫ d y 2 y - 1 = - ∫ d x

AS integrais vão ficar

ln ⁡ 2 y - 1 2 = - x + C

Passo 3

Agora temos que isolar o y

ln ⁡ 2 y - 1 = - 2 x + 2 C

2 y - 1 = e - 2 x + 2 C

2 y - 1 = e - 2 x e 2 C

Podemos fazer e 2 C sendo K , então

2 y - 1 = K e - 2 x

Então temos

2 y - 1 = ± K e - 2 x

2 y = 1 ± K e - 2 x

y = 1 2 ± K 2 e - 2 x

Podemos fazer ± K 2 = C 1

E a nossa solução vai ser

y = 1 2 + C 1 e - 2 x

Passo 4

Vamos ao valor inicial agora, temos

y 0 = 1 2

Então

1 2 = 1 2 + C 1 e - 2.0

1 2 = 1 2 + C 1

C 1 = 0

Então nossa solução vai ser

y = 1 2

Resposta

y = 1 2

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