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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 2 – Questão 9

A solução do problema de valor inicial

y ' = 3 x 2 - e x 2 y - 5 ,   y 0 = 1

É:

  1. 5 2 + x 3 - e x + 13 4
  2. 5 2 - x 3 - e x + 13 4 + C
  3. 5 2 + x 3 - e x + 13 4 + C
  4. 5 2 - x 3 - e x + 13 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa é uma questão de variáveis separáveis!

Vamos fazer juntos?

Cola aqui!

Pra resolver esse PVI vamos separar essas variáveis: deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro:

y ' = 3 x 2 - e x 2 y - 5

Trocando y ' por d y d x temos o seguinte:

d y d x = 3 x 2 - e x 2 y - 5

E agora tudo que tem y pra esquerda e tudo que tem x pra direita:

( 2 y - 5 )   d y = ( 3 x 2 - e x ) d x

E integrar dos dois lados:

∫ ( 2 y - 5 ) d y = ∫ ( 3 x 2 - e x ) d x

y 2 - 5 y = x 3 - e x + C

Não esquece de colocar esse + C viu!

Belezinha?

Passo 2

Agora vamos descobrir qual é essa constante!

A condição inicial é:

y 0 = 1

Agora vamos substituir na solução:

y 2 - 5 y = x 3 - e x + C

1 2 - 5 1 = 0 3 - e 0 + C

- 4 = - 1 + C

C = - 4 + 1 = - 3

Tranquilo?

Passo 3

Agora a solução é:

y 2 - 5 y = x 3 - e x - 3

E pode ser escrita assim (completando quadrado de y ):

y 2 - 5 y + 25 4 - 25 4 = x 3 - e x - 3

Agora é só isolar o y

y - 5 2 2 = x 3 - e x - 3 + 25 4

y - 5 2 2 = x 3 - e x + 13 4

E tirando a raiz dos dois lados:

y - 5 2 = x 3 - e x + 13 4

Agora é só isolar o y :

y = 5 2 + x 3 - e x + 13 4

Notem que não temos um + C pendurado na nossa solução: isso é porque temos um PVI, com uma condição inicial que nos determina quem é esse C .

Assim a alternativa com essa resposta é (a)

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

a

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