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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

1 . Considere uma população de cardume de peixes, avaliada em centenas de milhares de peixes em centenas de dias. Os peixes são pescados com certa frequência e dada suas taxas de reprodução, as populações evoluem de acordo com

P ' t = P t 12 - P t - 36

Sabendo que P 0 = 2,6 ( 260 mil peixes), calcule quantos dias T teremos até a extinção dos peixes neste lago, ou seja, tal que P T = 0 . (Aproximado a uma casa decimal)

Escolha uma:

a . 7,4 dias

b .   12,7 dias

c . 27,5 dias

d . 76,5   dias

e . 62,7 dias

Passo 1

Vem comigo que a gente faz essa juntos!

Temos que resolver E D O do enunciado para encontrarmos a função P ( t ) e assim calcular quantos dias para a extinção dos peixes.

Para resolver essa E D O vamos usar a separação de variáveis ao nosso favor.

Passo 2

Nós temos o seguinte:

P ' t = P t 12 - P t - 36

Que reorganizado fica:

P ' t = - P 2 ( t ) + 12 P t - 36

⇒ P ' t - P 2 ( t ) + 12 P t - 36 = 1

Agora a gente integra dos dois lados em função de t , temos:

∫ P ' t - P 2 ( t ) + 12 P t - 36   d t = ∫ 1   d t

Assim temos que:

1 P t - 6 = t + c

⇒ P t - 6 = 1 t + c

⇒ P t = 1 t + c + 6

Então temos que:

P t = 6 t + 6 c + 1 t + c

Passo 3

Agora que temos a função P ( t ) temos que encontrar o valor de c , para conseguir calcular esse cara vamos usar o fato de que P 0 = 2,6 . Assim:

P 0 = 6 ( 0 ) + 6 c + 1 0 + c = 2,6

⇒ 6 c + 1 = 2,6 c

⇒ 3,4 c = - 1

Assim temos que:

c = - 0,294

Passo 4

Agora podemos encontrar T , temos o seguinte:

P T = 6 ( T ) + 6 ( - 0,294 ) + 1 T - 0,294 = 0

⇒ 6 T - 1,764 + 1 = 0

⇒ T = 0,127

Só que a gente encontra T em centenas de dias, então temos que:

T = 12,7   d i a s

Assim a alternativa correta é a letra b .

Resposta

b .   12,7 dias

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