UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1c
Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
E aí, tudo bem? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui
Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):
- Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve para um lado, tudo que envolve para o outro e integrar! (tenta você mesmo! Vai ver que dá)
-
Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui
Você vai ver que das duas formar é possível resolver! Eu aqui vou usar o primeiro método, mas você pode tentar pelo segundo e encontrar a mesma solução!
Depois de achar a solução ainda precisamos ver o maior intervalo em que ela é válida! Lembrando que aqui você precisa tirar do intervalo valores de que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução
No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem para um lado e tudo que tem do outro e integrar! Nossa edo é
Vamos começar rescrevendo por
E como tem dos dois lados, vou agrupar esse termo em um lado só da equação
E agora colocar em evidência
E passar tudo que tem para o lado direito e tudo que tem para o esquerdo
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!
Do passo anterior
Integrando temos
Do lado esquerdo vamos usar a técnica da substituição simples, chamando
E do lado direito é só integrar a potência. Daí temos
Lembrando que multiplicar por uma constante, ela vira outra constante! Mas por simplicidade, vamos sempre escrever . Isso não se aplica quando multiplicamos por uma função! Tipo ou e tal... beleza?
Aí nossa solução fica assim
Multiplicando por
E isolando
Pronto? Ainda não! Precisamos retornar para !
Então
E o intervalo de validade? Como temos uma exponencial como solução, e ela é válida para qualquer valor de , então nosso maior intervalo possível é
E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?