UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2015.1, Questão 2
Resolva a equação
Passo 1
Faaaala galerinha, tudo bem com vocês?
Nessa questão precisamos resolver a EDO:
Gente, quando nos deparamos com uma equação desse tipo, nesse formatinho específico, uma ideia legal é pensarmos nas nossas equações exatas.
Parece muito com aquele tipo geral das equações exatas que é dado por:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se é verdade:
Então bora lá!
Passo 2
Vimos que a nossa equação pode ser escrita como:
E que a equação exata geralzona:
Assim, temos:
Agora vamos fazer as derivadas parciais:
Puts, então vimos que:
Logo, essa equação não é exata.
E aí, o que fazemos agora?
Então gente, existe um tipo de equação diferencial que chamamos de “quase-exata”. Ela se torna exata quando a multiplicamos por um fator integrante. Vamos ver se conseguimos achar um fator integrante verificando se:
Já que essa operação resultou em uma função apenas de , é porque realmente temos uma equação quase-exata e podemos prosseguir na busca pelo fator integrante.
O fator integrante vai ser dado por:
Logo:
Prontinho! Achamos o nosso fator integrante.
Passo 3
Agora que já temos o fator integrante, vamos multiplicar toda a nossa equação por ele.
Assim:
Pronto, agora essa equação se tornou exata.
Vamos então seguir o procedimento padrão para encontrar a solução da equação exata.
Fazemos:
Onde considera também o produto do fator integrante dento dele. Ou seja:
Agora derivamos essa expressão em relação a , e comparamos com . Assim:
Comparando esse resultado com (também após o produto do fator integrante), temos:
Comparando com nossa expressão:
Logo:
Integrando em relação a vem:
Logo:
Perfeito! Pra finalizar, a solução das equações exatas é do tipo:
onde é uma constante.
Portanto:
Essa é a nossa resposta 😊
E aí, curtiram a solução? Responde Aí!