Resolva a equação

dy/dx = (2xy) / (3x^2 - y)

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos resolver a EDO:

d y d x = 2 x y 3 x 2 - y

Gente, quando nos deparamos com uma equação desse tipo, nesse formatinho específico, uma ideia legal é pensarmos nas nossas equações exatas.

d y d x = 2 x y 3 x 2 - y

∴ 3 x 2 - y d y + - 2 x y d x = 0

Parece muito com aquele tipo geral das equações exatas que é dado por:

N x , y d y + M x , y d x = 0

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se é verdade:

∂ N x , y ∂ x = ∂ M x , y ∂ y

Então bora lá!

Passo 2

Vimos que a nossa equação pode ser escrita como:

3 x 2 - y d y + - 2 x y d x = 0

E que a equação exata geralzona:

N x , y d y + M x , y d x = 0

Assim, temos:

N x , y = 3 x 2 - y M x , y =   - 2 x y

Agora vamos fazer as derivadas parciais:

∂ N x , y ∂ x = 6 x

∂ M x , y ∂ y =   - 2 x

Puts, então vimos que:

∂ N x , y ∂ x ≠ ∂ M x , y ∂ y

Logo, essa equação não é exata.

E aí, o que fazemos agora?

Então gente, existe um tipo de equação diferencial que chamamos de “quase-exata”. Ela se torna exata quando a multiplicamos por um fator integrante. Vamos ver se conseguimos achar um fator integrante verificando se:

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = 6 x - - 2 x - 2 x y

= 8 x - 2 x y

=   - 4 y - 1

Já que essa operação resultou em uma função apenas de y , é porque realmente temos uma equação quase-exata e podemos prosseguir na busca pelo fator integrante.

h y =   - 4 y - 1

O fator integrante vai ser dado por:

u y = e ∫ h y d y

= e ∫ - 4 y - 1 d y

= e - 4 ∫ y - 1 d y

Logo:

u y = e - 4 ⋅ ln ⁡ y

= e ln ⁡ y - 4

= y - 4

Prontinho! Achamos o nosso fator integrante.

Passo 3

Agora que já temos o fator integrante, vamos multiplicar toda a nossa equação por ele.

Assim:

3 x 2 - y d y + - 2 x y d x = 0

y - 4 ⋅ 3 x 2 - y d y + y - 4 ⋅ - 2 x y d x = 0

Pronto, agora essa equação se tornou exata.

Vamos então seguir o procedimento padrão para encontrar a solução da equação exata.

Fazemos:

ϕ x , y =   ∫ M x , y d x

Onde M x , y considera também o produto do fator integrante dento dele. Ou seja:

M x , y = y - 4 ⋅ - 2 x y  

=   ∫ - 2 x y - 3 d x = - x 2 y - 3 + g ( y )

Agora derivamos essa expressão em relação a y , e comparamos com N ( x , y ) . Assim:

∂ - x 2 y - 3 + g y ∂ y = - x 2 - 3 y - 4 + g ' y

∂ ϕ x , y ∂ y = 3 x 2 y - 4 + g ' ( y )

Comparando esse resultado com N x , y (também após o produto do fator integrante), temos:

N x , y = y - 4 ⋅ 3 x 2 - y

= 3 x 2 y - 4 - y - 3

Comparando com nossa expressão:

N x , y = ∂ ϕ ∂ y  

3 x 2 y - 4 - y - 3 = 3 x 2 y - 4 + g ' ( y )

Logo:

g ' y =   - y - 3

Integrando em relação a y , vem:

∫ g ' y d y = g y

∴ g y =   ∫ - y - 3 d y

= y - 2 2  

Logo:

ϕ x , y =   - x 2 y - 3 + g y

=   - x 2 y - 3 + y - 2 2

Perfeito! Pra finalizar, a solução das equações exatas é do tipo:

ϕ x , y = c

onde c é uma constante.

Portanto:

- x 2 y - 3 + y - 2 2 = c

Essa é a nossa resposta 😊

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

- x 2 y - 3 + y - 2 2 = c

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