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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

a Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

b Determine a solução parcial que passa pelo ponto 0,0

c O problema de valor inicial y ' = 2 x 1 - y 2 e y 0 = 2 tem solução?

Passo 1

a)

A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável.

y ' = 2 x 1 - y 2

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y multiplicada por uma função só com x , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 2 x 1 - y 2

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

d y 1 - y 2 = 2 x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ d y 1 - y 2 = ∫ d x

O lado direito fica tranquilinho,

∫ d y 1 - y 2 = 2 x 2 2 + C

∫ d y 1 - y 2 = x 2 + C

Mas e o lado esquerdo? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

∫ d y 1 - y 2

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y

Vamos resolver como se você, nem eu, soubéssemos dessa integral

Repara que temos uma subtração de uma função ao quadrado, isso nos dá a dica de usarmos a substituição trigonométrica. A primeira coisa a fazermos é identificar o caso da substituição trigonométrica e o valor de a .

Como temos 1 - y 2 na raiz o caso é a 2 - x 2 , e vamos ter a = 1

Isso nos diz que devemos fazer

y = sen ⁡ θ

Com

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Devemos agora achar d y

d y = cos ⁡ θ d θ

Passo 5

Substituindo y e d y na integral que temos ali no passo anterior vamos ter

∫ d y 1 - y 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen ⁡ θ 2

Vamos ter

∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen ⁡ θ 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sen 2 ⁡ θ =

= ∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ

Como o intervalo de θ é de - π / 2 até π / 2 vamos ter

∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ =

∫ d θ = θ

Como achamos θ não vamos precisar do triângulo.

Temos

sen ⁡ θ = y

Então

θ = arcsen ⁡ y

E a nossa integral vai resultar no que vimos antes

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y

Passo 6

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

arcsen ⁡ y = x 2 + C

Temos que isolar o y ,

y = sen ⁡ x 2 + C

Passo 7

b)

Ele disse no enunciado que ele quer a solução que passa no ponto 0,0 isso quer fizer que

y 0 = 0

Então

0 = sen ⁡ 0 2 + C

0 = sen ⁡ 0 + C

Vamos ter

C = 0 + k π

Com k ∈ Z

Vamos pegar o valor de C mais tranquilo, que é quando k = 0

C = 0

A nossa função vai ficar

y = sen ⁡ x 2

Passo 8

c)

Vamos tentar resolver para ver se ele tem solução, o valor inicial que ele deu foi

y 0 = 2

Então

2 = sen ⁡ x 2 + C

Mas repara que ele disse que seno é igual a 2 , mas o valor se seno só vai até 1 então não podemos ter esse valor inicial.

Repara que se tivermos

y 0 = a

Só vai ser possível se a estiver de - 1 à 1 .

Resposta

a)

y = sen ⁡ x 2 + C

b)

y = sen ⁡ x 2

c)

Não possui, ele só possui solução se y 0 estiver no intervalo - 1,1

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du