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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Exercício 213456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

  1. Mostre que a equação

    2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  2. Resolva a mesma

Passo 1

a)

E ai, pessoa! Bora começar a resolver esse exercício?

Vamos começar vendo se essa EDO é separável mesmo! Para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y .

Vamos tentar colocar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y para outro. Fica assim:

x d y d x = 1 y - y

Agora vamos passar x para o outro lado, chegando em um produto de uma função só de x com uma função só de y .

d y d x = 1 y - y 1 x

E acabamos de ver que ele realmente é, então essa equação é separável.

Passo 2

b)

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 1 y - y = 1 x d x

Agora vamos integrar dos dois lados

∫ d y 1 y - y = ∫ 1 x d x

Sabemos fazer de boa a integral do lado direito, que vai ficar

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Dessa forma,

∫ d y 1 y - y = ln ⁡ x + C

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

Passo 3

Resolvendo a segunda integral:

∫ d y 1 y - y

Vamos começar dando uma arrumada nisso

∫ d y 1 y - y = ∫ d y 1 - y 2 y = ∫ y d y 1 - y 2

Vamos resolver fazendo uma substituição simples, onde

1 - y 2 = u

d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u

Colocando isso na integral

∫ y d y 1 - y 2 = - 1 2 ∫ d u u

Resolvendo a integral vamos ter

- 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ u

Voltando para y

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2

Passo 4

Voltando para nossa integral vamos ter

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x + C

Agora temos que isolar o y

ln ⁡ 1 - y 2 = - 2 ln ⁡ x - 2 C

Lembrando de uma propriedade de logaritmo que fala

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Vamos ter

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

Como x - 2 é sempre positivo temos

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

Repara que só tiramos o módulo do ln ⁡ x - 2 . E agora vamos tirar o ln ⁡   de y . Fica assim,

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 e - 2 C

1 - y 2 = x - 2 e - 2 C

Podemos fazer e - 2 C sendo K , então

1 - y 2 = x - 2 K

Então temos

1 - y 2 = ± K x - 2

y 2 = 1 ∓ K x - 2

Podemos fazer ∓ K = C 1

Assim vamos ter

y 2 - 1 = C 1 x - 2

Resposta

b)

y 2 - 1 = C 1 x - 2

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