Considere a equação diferencial

y' = (7x) / (e^(x + y))

(a) Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y(0) = 2 .

Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável.

y ' = 7 x e x + y

Olhando de primeira fica difícil ver isso. Mas vamos separar aquelas exponenciais

e x + y = e x e y

y ' = 7 x e x e y

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y multiplicada por uma função só com x , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 7 x e x e y

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

e y d y = 7 x d x e x

Vamos deixar isso com uma cara mais amigável

e y d y = 7 x e - x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ e y d y = ∫ 7 x e - x d x

O lado esquerdo fica tranquilinho,

e y = ∫ 7 x e - x d x

Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

∫ 7 x e - x d x

Vamos resolver isso por partes

u = 7 x → d u = 7 d x

d v = e - x → v = - e - x

A nossa integral vai ficar

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - ∫ - 7 e - x d x

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 ∫ e - x d x

Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer, então vamos ter

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 - e - x + C

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 5

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

e y = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Temos que isolar o y ,

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 6

b)

Ele disse no enunciado que

y 0 = 2

Então

2 = ln ⁡ - 7.0 . e - 0 - 7 e - 0 + C

2 = ln ⁡ - 7 + C

- 7 + C = e 2

C = 7 + e 2

A nossa função vai ficar

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + 7 + e 2

Resposta

a)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

b)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + 7 + e 2

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