Passo 1
a)
Para determinarmos a região do plano onde podemos garantir que a equação possui soluções únicas temos que garantir que sejam funções contínuas nessa região, sendo que é definida por.
Consequentemente será.
Passo 2
Nesse exercício nós vamos ter que analisar dois casos: . Vamos analisar esses casos porque se teremos somente uma constante no denominador e no outro caso teremos uma função. Vamos analisar o primeiro caso.
Caso :
Nesse caso as nossas funções ficaram da seguinte forma.
Vamos analisar a continuidade delas agora. A primeira função vai ser continua em todo o plano e na segunda temos que o denominador não pode ser igual a zero e, para isso, . Logo a nossa região será.
Passo 3
Caso :
Nesse caso teremos as funções igual escrevemos no passo 1.
Vamos analisar a primeira função. Nós temos uma função de que estará no denominador e dentro de uma raiz, para que seja continua temos que.
Analisando a segunda função nós percebemos que temos o mesmo problema da função de que analisamos logo acima e agora também temos no denominador que vai fazer com que . Logo a nossa região será
Passo 4
b)
Agora a questão pede para acharmos as soluções da EDO. Vamos resolver essa equação separável, mas para isso vamos analisar os dois casos que escrevemos no item anterior justamente porque o fato de ser igual ou não a zero vai mudar bastante a nossa solução.
Caso :
Vamos integrar os dois lados da equação.
Passo 5
Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração
Chamando e elevando a equação à 6ª potência.
Passo 6
Caso
A nossa equação separável ficará da seguinte forma.
Integrando os dois lados da equação.
Passo 7
Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração .
Chamando e elevando os dois lados da equação à 6ª potencia.
Resposta
- Quando
- Quando
Quando
Quando