Considere a equação diferencial:

y' = x * e^(2 - y)

  1. Obtenha a solução geral.
  2. Considere a condição inicial y(0) = 1 e determine a solução particular para esta condição inicial.
  3. Existe alguma soluçaõ de equilíbrio? Determine todas que houver. Se não houver, explique o por quê.

Passo 1

Resolvendo primeiramente a letra a)

A equação dada no enunciado d y d x = x e 2 - y , é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida separando as variáveis! Olha só:

d y e 2 - y = x   d x

E integrando ambos os lados da equação, vamos ter:

∫ d y e 2 - y = ∫ x   d x

E repare que 1 e 2 - y = e y - 2 , e então substituindo na equação:

∫ e y - 2   d y = ∫ x   d x

E então:

e y - 2 = x 2 2 + C

y - 2 = ln ⁡ x 2 2 + C

y = 2 + ln ⁡ x 2 2 + C

Então a solução geral é:

y x = 2 + ln ⁡ x 2 2 + C

Passo 2

Resolvendo a letra b)

Se ele quer que a gente resolva a equação diferencial pra uma condição de y 0 = 1 , basta substituir essa condição inicial na solução geral que a gente encontrou na letra a)

y 0 = 1 = 2 + ln ⁡ 0 2 2 + C

E então encontramos o valor de C:

ln ⁡ C = - 1   →       C = 1 e

Portanto:

y x = 2 + ln ⁡ x 2 2 + 1 e

Passo 3

Resolvendo a letra c)

A solução de equilíbrio é uma solução constante!!! Significa que ela NÃO varia, ou seja, significa que d y d x = 0 . Então basta fazer:

d y d x = x e 2 - y = 0

Resolvendo essa equação, temos:

x = 0   o u   e 2 - y = 0

Como e 2 - y nunca vale zero, NÃO EXISTE valor de y que satisfaça a equação d y d x = 0 . E portanto, NÃO EXISTE solução de equilíbrio!

Resposta

NÃO existe solução de equilíbrio, pois NÃO existe x , y que satisfaça d y d x = 0 .

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