1. Encontre a solução de forma explicita do problema de valor inicial
2. Mostre que a solução é única. Usando o conhecimento da Matéria, responda:

Para que valores de , podemos garantir que a solução existe e é única, substituindo a condição inicial por ? (Não esqueça de justificar, com a teoria vista).

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com de um lado e tudo com do outro.

Agora vamos integrar dos dois lados

AS integrais vão ficar

Agora temos que isolar o

Podemos fazer sendo , então

Vamos ao valor inicial agora, temos

Então

Então nossa solução vai ser

Podemos isolar o

Mas como temos vamos pegar só o cara positivo

b)

Para garantimos que a solução é única vamos dar um look rapidinho no teorema da existência e unicidade.

Não vimos o teorema da existência e unicidade na teoria, vamos enuncia-lo aqui

Dada uma função tal que ela é continua em um retângulo aberto , com também contínua em . Então, dado um ponto de , temos que a equação diferencial

Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo ,

Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função é continua em um intervalo de e e a derivada em relação a dessa também é contínua nesse mesmo intervalo.

Vamos identificar no nosso caso.

Como

Temos

Essa função é contínua em qualquer ponto menos , vamos ver a derivada em relação a

Aqui o único ponto de descontinuidade é, de novo, , assim pelo teorema da existência e unicidade garantirmos que temos uma única solução da EDO quando pegarmos um ponto , porque assim podemos pegar um retângulo qualquer que não tenha para essa função ser contínua.

O nosso ponto é então essa solução é única.

Como vimos, podemos garantir solução para qualquer ponto inicial, que seja