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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

Considere a seguinte equação diferencial:

y ' - x - 1 y x 2 + 2 x + 1 = 0

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = - 1 .

Passo 1

Vamos começar a nossa equação fazendo

y ' = d y d x

A EDO vai ficar

d y d x - x - 1 y x 2 + 2 x + 1 = 0

Passo 2

Agora vamos isolar d y / d x

d y d x = x - 1 y x 2 + 2 x + 1

Passo 3

Repara que temos um produto de coisas com x com coisas com y então podemos tentar resolver essa equação por separável. Vamos jogar tudo que tem y para baixo de d y e jogar o d x para cima, vamos ter

d y y = x - 1 x 2 + 2 x + 1 d x

Passo 4

Agora temos integrar dos dois lados

∫ d y y = ∫ x - 1 x 2 + 2 x + 1 d x

A integral de y é tranquilo, vamos fazer separado essa integral de x

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 1 d x

Temos um polinômio sobre outro de menor grau, então vamos usar frações parciais para resolver isso.

Primeiro vamos repara que

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Então a nossa fração de polinômios vai ficar

x - 1 x + 1 2 = A x + 1 + B x + 1 2

Vamos ter

x - 1 = A x + 1 + B

Fazendo x = 1 vamos ter

2 A + B = 0

Então

B = - 2 A

Fazendo x = 0 vamos ter

A + B = - 1

Trocando B por - 2 A vamos ter

A - 2 A = - 1

- A = - 1

A = 1

Então

B = - 2

E vamos ter

x - 1 x + 1 2 = 1 x + 1 - 2 x + 1 2

A nossa integral vai ficar

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 1 d x = ∫ 1 x + 1 - 2 x + 1 2 d x =

∫ d x x + 1 - ∫ 2 x + 1 2 d x

Assim vamos ter

∫ d x x + 1 - ∫ 2 x + 1 2 d x = ln ⁡ x + 1 - 2 x + 1 - 1 - 1 + C = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 + C

Passo 5

Voltando para as integrais

∫ d y y = ∫ x - 1 x 2 + 2 x + 1 d x

Vamos ter

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 + C

Isolando y vamos ter

y = e ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 + C

Podemos separar essas potencias

y = e ln ⁡ x + 1 e 2 x + 1 e C

Vamos trocar e C por K e lembrando que e ln ⁡ x + 1 = x + 1

y = K x + 1 e 2 x + 1

Isso nos diz que

y = ± K x + 1 e 2 x + 1

Vamos fazer

± K = C 1

Então

y = C 1 x + 1 e 2 x + 1

Passo 6

Vamos agora achar o valor de K com o valor inicial que ele deu

y 0 = - 1

Então

- 1 = C 1 0 + 1 e 2 0 + 1

- 1 = C 1 e 2

Então

C 1 = - e - 2

E nossa equação vai ficar

y = - e - 2 x + 1 e 2 x + 1

y = - x + 1 e 2 x + 1 - 2

Sando uma ultima arrumada

y = - x + 1 e - 2 x x + 1

Resposta

y = - x + 1 e - 2 x x + 1

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du