Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

a) ( dy/dx = 5y

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d y d x = 5 y

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! (tenta você mesmo! Vai ver que dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Aqui já temos quase tudo pronto para usarmos o primeiro método, e também não temos um y dando sopa! Essa é nossa maior pista para usarmos o método das variáveis separáveis!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

d y d x = 5 y

Agora é só passar y para a esquerda e d x para a direita:

d y y = 5 d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

Do passo anterior

d y y = 5 d x

Integrando temos

∫ d y y = ∫ 5 d x

Daí temos

ln ⁡ y = 5 x + c

y = e 5 x + c = e c . e 5 x = C e 5 x

Lembrando que multiplicar a solução por e c é multiplicar por uma constante! Mas por simplicidade, vamos sempre escrever C . Isso não se aplica quando multiplicamos c por uma função! Tipo x ou e x e tal... beleza?

Aí nossa solução fica assim

y x = C e 5 x

E o intervalo de validade? Como temos uma exponencial como solução, e ela é válida para qualquer valor de x , então nosso maior intervalo possível é

I = ( - ∞ , + ∞ )

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = C e 5 x

I = ( - ∞ , + ∞ )

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