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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

19 . d y d x = y - y 2   ,   c o m   c a d a   c o n d i ç ã o   i n i c i a l

a   y 0 = 2               b   y 2 = 0             c   y 0 = 1

Passo 1

Bom, temos aqui um caso de EDO de variáveis separáveis. Vamos tentar escrevê-la da forma y ' = f x g ( y ) para verificar isso:

y ' = y - y 2

UHUL! Agora é só alegria :D

Passo 2

Separando as variáveis:

1 y - y 2 d y = d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y - y 2 d y = ∫ 1 d x

Vamos fazer a primeira integral por frações parciais:

∫ 1 y ( 1 - y ) d y = ∫ 1 y + 1 1 - y d y = ln ⁡ y - ln ⁡ 1 - y

Voltando pra igualdade:

ln ⁡ y - ln ⁡ 1 - y = x + C

ln ⁡ y 1 - y = x + C

y 1 - y = e x + C

y = K e x 1 + K e x

Passo 3

Agora vamos usar a condição inicial para descobrir o valor da constante:

a

y 0 = 2

2 = K 1 + K

2 + 2 K = K

K = - 2

y = - 2 e x 1 - 2 e x

Se dividirmos tanto o numerador quanto o denominador por - 2 e x , ficaremos com:

y = 1 1 - 1 2 e - x

Além disso, temos que checar o domínio dessa solução. Temos:

- 1 2 e - x + 1 > 0

e - x < 2

x > - l n 2

Agora fechou a primeira solução! 😉

Passo 4

Agora vamos usar a condição inicial para descobrir o valor da constante:

b

y 2 = 0

0 = K e 2 1 + K e 2

K = 0

y = 0 ,     c o m   x ∈ R

OBS.: Perceba que essa solução é singular, pois a EDO fica assim:

d y d x = 0

Agora fechou a segunda solução! 😉

Passo 5

Agora vamos usar a condição inicial para descobrir o valor da constante:

c

y 0 = 1

1 = K 1 + K

1 + K = K

1 = 0

Opa! Temos uma indeterminação, mas repara que pelo Teorema da Existência e Unicidade, essa EDO tem que ter uma solução única num intervalo que contenha o ponto ( 0,1 ) . Veja bem, nossa EDO é a seguinte:

d y d x = y - y 2

Perceba que essa EDO já está escrita na forma:

d y d x = f ( x , y )

Então:

∂ f ∂ y = 1 - 2 y

E perceba que ambas as funções são contínuas no conjunto aberto I = R 2 . Então tem que existir uma solução. Portanto, vamos encontrá-la por inspeção:

y x = 1

Essa solução satisfaz a EDO e o ponto da condição inicial.

Agora fechou a última solução! 😉

Resposta

19 .   a   y x = 1 1 - 1 2 e - x     ,   x > - l n 2               b   y x = 0 ,   x ∈ R                   c   y x = 1 , x ∈ R

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du