UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 4a
Responda falso ou verdadeira justificando a sua resposta, ou seja, prove se for verdadeiro ou dê um contra exemplo se for falso:
Toda equação diferencial separável é exata.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Esta questão pede para que analisemos duas afirmativas, verificando se elas são verdadeiras ou falsas, provando a veracidade ou dando um contra-exemplo caso seja falsa. Nesta afirmativa em particular, temos a afirmação
“Toda equação diferencial separável é exata”
Como podemos verificar a veracidade desta afirmação? Primeiro, o que é uma equação diferencial separável em geral? Temos que estas equações diferenciais podem ser escritas da forma
e, para que ela seja exata? Precisamos que ela possa ser escrita como
em que
Usando estas definições, consegue verificar a afirmação? Saca só!
Passo 2
Da definição de separável podemos escrever sim a equação no formato desejável para ser exata, podemos fazer o seguinte
em que multipliquei a equação toda por . Agora, se colocarmos tudo no lado esquerdo, temos que
onde podemos identificar que e . Note então que a afirmativa é verdadeira! Já que é na verdade apenas uma função de devido a definição de separável, e como é apenas uma função de , sendo assim, a igualdade
resultará sempre em
Portanto. Está demonstrado que toda equação separável é exata! A primeira alternativa já foi! Vamos para a próxima! Até já!
Resposta
Verdadeira