Responda falso ou verdadeira justificando a sua resposta, ou seja, prove se for verdadeiro ou dê um contra exemplo se for falso:

( a ) Toda equação diferencial separável é exata.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questão pede para que analisemos duas afirmativas, verificando se elas são verdadeiras ou falsas, provando a veracidade ou dando um contra-exemplo caso seja falsa. Nesta afirmativa em particular, temos a afirmação

“Toda equação diferencial separável é exata”

Como podemos verificar a veracidade desta afirmação? Primeiro, o que é uma equação diferencial separável em geral? Temos que estas equações diferenciais podem ser escritas da forma

d y d x = h ( x ) g ( y )

e, para que ela seja exata? Precisamos que ela possa ser escrita como

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0

em que

∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

Usando estas definições, consegue verificar a afirmação? Saca só!

Passo 2

Da definição de separável podemos escrever sim a equação no formato desejável para ser exata, podemos fazer o seguinte

g ( y ) d y = h ( x ) d x

em que multipliquei a equação toda por g ( y ) d x . Agora, se colocarmos tudo no lado esquerdo, temos que

g ( y ) d y - h ( x ) d x = 0

onde podemos identificar que M ( x , y ) = - h ( x ) e N ( x , y ) = g ( y ) . Note então que a afirmativa é verdadeira! Já que M ( x , y ) é na verdade apenas uma função de x devido a definição de separável, e como N ( x , y ) é apenas uma função de y , sendo assim, a igualdade

∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

resultará sempre em

0 = 0

Portanto. Está demonstrado que toda equação separável é exata! A primeira alternativa já foi! Vamos para a próxima! Até já!

Resposta

Verdadeira

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