Questão 3: Dada a equação diferencial y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0 :

  1. Determine em que pontos do plano as condições do Teorema da existência e unicidade são válidas.
  2. Resolva o problema de valor inicial
  3. y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0 ,     y 0 = 1

  4. Determine o maior intervalo em que a solução do item b pode estar definida.

Passo 1

Letra A)

O teorema da existência e unicidade fala o seguinte:

y ' = f x ,   y

“Para a existência de uma EDO e a unicidade da solução em um conjunto I ⊂ R 2 essa f x ,   y e f x tem que ser contínua e em um intervalo I ”.

Isso é só um resuminho da Teoria. Vejamos no nosso problema:

y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0   →

Isolando o y ' ...

y y ' = 2 x 2 1 + y 2     →

y ' = 2 x 2 1 + y 2 y = f x ,   y

A derivada com relação à x :

f x x ,   y = 4 x 1 + y 2 y

Então veja que essa duas coisas são contínuas em qualquer ponto do R 2 tirando os pontos y 0 = 0 .

Passo 2

Letra B)

Primeiro temos que encontrar a solução da EDO!

y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0

Podemos fazer isso, usando separação de x e y :

y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0     →

y y ' = 2 x 2 1 + y 2     →

y y ' 1 + y 2 = 2 x 2     →

Lembrando então que y ' = d y / d x ...

y 1 + y 2 d y d x = 2 x 2     →

“Passando” o d x pro outro lado:

y 1 + y 2 d y = 2 x 2 d x   →

Agora integrando dos dois lados:

∫ y 1 + y 2 d y = ∫ 2 x 2 d x  

A primeira integral pode ser encontrada fazendo uma mudança:

1 + y 2 = t       →

d t = 2 y d y           o u           y d y = d t 2

∫ y 1 + y 2 d y = ∫ 1 t d t 2 =

ln ⁡ t 2 =

ln ⁡ 1 + y 2 2

Calculando a segunda integral agora:

∫ 2 x 2 d x   = 2 x 3 3 + k

Então:

∫ y 1 + y 2 d y = ∫ 2 x 2 d x         →

ln ⁡ 1 + y 2 2 = 2 x 3 3 + k

Passo 3

Para encontrar o k , vamos considerar o problema de valor inicial pedido no enunciado:

y 0 = 1

Então:

ln ⁡ 1 + y 2 2 = 2 x 3 3 + k       →

ln ⁡ 1 + 1 2 2 = 0 + k     →

k = ln ⁡ 2 2

Logo, a solução do problema de valor inicial é...

ln ⁡ 1 + y 2 2 = 2 x 3 3 + ln ⁡ 2 2   →

Lembrando que 1 + y 2 é sempre positivo...

ln ⁡ 1 + y 2 = 4 x 3 3 + ln ⁡ 2

Passo 4

Letra C)

Essa é a resposta do problema de Valor inicial. Mas, para encontrar o maior intervalo em que essa função funciona, vamos antes isolar o y em função do x :

ln ⁡ 1 + y 2 = 4 x 3 3 + ln ⁡ 2           →

e ln ⁡ 1 + y 2 = e 4 x 3 3 + ln ⁡ 2           →

1 + y 2 = e 4 x 3 3 ⋅ e ln ⁡ 2           →

1 + y 2 = 2 e 4 x 3 3           →

y 2 = 2 e 4 x 3 3 - 1           →

y = 2 e 4 x 3 3 - 1

A função r a i z funciona para todos os pontos em que:

2 e 4 x 3 3 - 1 ≥ 0       →

e 4 x 3 3 ≥ 1 2       →

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 4 x 3 3 ≥ ln ⁡ 1 2     →

4 x 3 3 ≥ ln ⁡ 1 2   →

x 3 ≥ 3 4 ln ⁡ 1 2     →

x ≥ 3 4 ln ⁡ 1 2 3

Resposta

Letra A)

É garantido em qualquer ponto do R 2 tirando os pontos y 0 = 0 .

Letra B)

ln ⁡ 1 + y 2 = 4 x 3 3 + ln ⁡ 2

Letra C)

x ≥ 3 4 ln ⁡ 1 2 3

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