Questão 3: Dada a equação diferencial :
- Determine em que pontos do plano as condições do Teorema da existência e unicidade são válidas.
- Resolva o problema de valor inicial
- Determine o maior intervalo em que a solução do item pode estar definida.
Passo 1
Letra A)
O teorema da existência e unicidade fala o seguinte:
“Para a existência de uma EDO e a unicidade da solução em um conjunto essa e tem que ser contínua e em um intervalo ”.
Isso é só um resuminho da Teoria. Vejamos no nosso problema:
Isolando o ...
A derivada com relação à :
Então veja que essa duas coisas são contínuas em qualquer ponto do tirando os pontos .
Passo 2
Letra B)
Primeiro temos que encontrar a solução da EDO!
Podemos fazer isso, usando separação de e :
Lembrando então que ...
“Passando” o pro outro lado:
Agora integrando dos dois lados:
A primeira integral pode ser encontrada fazendo uma mudança:
Calculando a segunda integral agora:
Então:
Passo 3
Para encontrar o , vamos considerar o problema de valor inicial pedido no enunciado:
Então:
Logo, a solução do problema de valor inicial é...
Lembrando que é sempre positivo...
Passo 4
Letra C)
Essa é a resposta do problema de Valor inicial. Mas, para encontrar o maior intervalo em que essa função funciona, vamos antes isolar o em função do :
A função funciona para todos os pontos em que:
Aplicando dos dois lados:
Resposta
Letra A)
É garantido em qualquer ponto do tirando os pontos .
Letra B)
Letra C)