1. Mostre que a equação

É separável

2. Resolva a mesma
3. Ache a solução tal que

b)

Agora temos que multiplicar cruzado deixando tudo com de um lado e tudo com do outro.

Agora vamos integrar dos dois lados

Sabemos fazer de boa a integral do lado direito, que vai ficar

Temos que fazer aquela integral do lado esquerdo separado porque ela é um pouco mais complicada.

Vamos começar dando uma arrumada nisso

Vamos resolver fazendo

Colocando isso na integral

Resolvendo a integral vamos ter

Voltando para

Voltando para nossa integral vamos ter

Agora temos que isolar o

Lembrando de uma propriedade de logaritmo que fala

Vamos ter

Como é sempre positivo temos

Podemos fazer sendo , então

Então temos

Podemos fazer

Assim vamos ter

c)

Vamos ao valor inicial agora, temos

Se olharmos a solução que achamos percebemos que aquela solução não possui o caso que , isso porque temos . Além disso, temos na integral no denominador, então não podemos, para essas soluções, ter a função .

O que fazer agora? Vamos tentar ver uma solução que tenha essa solução inicial da EDO

Buscando um chute para solução, é isso mesmo um chute, agora ferrou né? Chutar nunca dá certo, mas repara que temos um chute que temos que tentar, que seria se .

Vamos ver se isso é solução, nós pegamos essa função porque é a função mais simples que temos que obedece a solução inicial.

Então temos

Então podemos pegar:

Vou separar um passo só para comentar dessa coisa muito doida que aconteceu. Nós resolvemos a EDO e na letra achamos uma solução que não faz parte das soluções que achamos resolvendo a EDO, na maioria dos exercícios nós achamos soluções necessariamente naquela parada, mas vamos colocar aqui o teorema que garante que tem sempre uma solução, que é o teorema da existência e unicidade.

Dada uma função tal que ela é continua em um retângulo aberto , com também contínua em . Então, dado um ponto de , temos que a equação diferencial

Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo ,

Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função é continua em um intervalo de e e a derivada em relação a dessa também é contínua nesse mesmo intervalo.

Vamos achar essa no nosso caso

Assim temos

Essa função é continua quando e , isso já mostra que o nosso caso da mostra que aquela solução não necessariamente vai valer para . Assim temos que procurar formas mais mirabolantes de achar a solução.

Quando isso acontecer vai ser um pouco mais complicado a parada, mas é só olhar bem as possibilidades que achamos soluções da EDO.