Equações Separáveis
Ache tal que e
Passo 1
A primeira coisa que temos que perceber é que ela essa equação é separável. Mas como isso fica mais evidente? Primeiro vamos trocar por para ter uma EDO como estamos acostumados
Agora repara que temos do lado direito uma função só com , isso é a grande evidência disso.
Para começar a resolução devemos trocar por
Passo 2
Agora teríamos que isolar o termo , mas isso já está feito.
Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro
Passo 3
Agora temos que aplicar a integral dos dois lados
O lado direito fica tranquilinho,
Mas e o lado esquerdo? Vamos ver como resolve no próximo passo
Passo 4
Queremos resolver essa integral
Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que
Vamos resolver como se você, nem eu, soubéssemos dessa integral
Repara que temos uma subtração de uma função ao quadrado, isso nos dá a dica de usarmos a substituição trigonométrica. A primeira coisa a fazermos é identificar o caso da substituição trigonométrica e o valor de .
Como temos na raiz o caso é , e vamos ter
Isso nos diz que devemos fazer
Com
Devemos agora achar
Passo 5
Substituindo e na integral que temos ali no passo anterior vamos ter
Vamos ter
Como o intervalo de é de até vamos ter
Como achamos não vamos precisar do triângulo.
Temos
Então
E a nossa integral vai resultar no que vimos antes
Passo 6
Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar
Temos que isolar o ,
Passo 7
Temos a equação, como ele deu o valor inicial temos que achar .
Ele disse no enunciado que
Então
Vamos ter
Com
Vamos pegar o valor de mais tranquilo, que é quando
A nossa função vai ficar