Se

d y d x = - x - x y ,

Então lim x → ∞ ⁡ y ( x ) é igual a

  1. 1
  2. - ∞
  3. 0
  4. - 1

Passo 1

Pelo que conhecemos de EDO, seria excelente se esta fosse separável, não é mesmo ?!

Vamos tentar escrevê-la neste formato charmoso:

d y d x = f x g ( y )

Arrumando ...

d y d x = - x - x y = - x 1 + y

Pronto! Ela é separável !!

Passo 2

Vamos multiplicar cruzado separando tudo que depende de x de tudo que depende de y !

d y 1 + y = - x d x

Passo 3

Agora, integramos os dois lados.

∫ d y 1 + y =   ∫ d u u =   ln ⁡ u = l n ⁡ ( 1 + y )

∫ - x d x =   - x 2 2

Vamos deixar para colocar as constantes de integração depois, fera!

Passo 4

Igualando as duas integrais e adicionando a constante C.

ln ⁡ 1 + y = - x 2 2 + C

Passo 5

Explicitando y ( x ) ... Vamos usar o truque de jogar a exponencial dos dois lados.

e ln ⁡ 1 + y = e C e - x 2 2 = K e - x 2 2

y x = K e - x 2 2 - 1

Passo 6

Vamos calcular o que enunciado pede:

lim x → ∞ ⁡ y ( x ) =   - 1  

Uma vez que: lim x → ∞ ⁡ K e - x 2 2 = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ y ( x ) =   - 1

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