Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.

13 . (x ln y) y' = y

Passo 1

Bom, para ser de variáveis separáveis, a gente precisa conseguir escrever aquela EDO da seguinte forma:

y ' = f x g ( y )

Ou seja, como um produto de funções de x e y . Vamos tentar?

y ' = 1 x y ln ⁡ y

Olha só! Conseguimos. Então é sim de variáveis separáveis.

Passo 2

Vamos agora resolver essa EDO. Primeiro, escreva dessa forma:

d y d x = 1 x y ln ⁡ y

ln ⁡ y y d y = 1 x d x

Integrando em ambos os lados:

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ 1 x d x

Bora resolver cada uma delas e depois voltamos pra essa igualdade, ok?

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + E

Para resolver a próxima integral, vamos usar uma substituição do tipo u = ln ⁡ y → d u = 1 y d y

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ u d u

∫ u d u = u 2 2 + D

Voltando pra nossa variável:

u 2 2 + D = ln ⁡ y 2 2 + D

Passo 3

Voltando pra nossa igualdade:

∫ ln ⁡ y y d y = ∫ 1 x d x

ln ⁡ y 2 2 + D = ln ⁡ x + E

ln ⁡ y 2 = 2 ln ⁡ x + C

ln ⁡ y 2 = ln ⁡ C x 2

ln ⁡ y = ± ln ⁡ C x 2

y = e ± ln ⁡ C x 2

Tanto uma, quanto a outra solução são válidas.

Resposta

13 .   y = e ln ⁡ C x 2 ou y = e - ln ⁡ C x 2  

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