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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Indique qual é a solução da equação diferencial:

x d x + y d y = x y ( x d y - y d x )

( ) 1 + y = C ( 1 - x 2 )

( ) 1 + y 2 = C ( 1 - x 2 )

( ) sen ⁡ y 2 = C ( 1 - x 2 )

( ) 1 + y 2 = C ( ln ⁡ x - x 2 )

( ) C 1 - x 2 = 1

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação diferencial. Vamos fazer a separação de variáveis, ou seja, colocar tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro.

x d x + y d y = x 2 y d y - x y 2 d x

x d x + x y 2 d x = x 2 y d y - y d y

x 1 + y 2 d x = y x 2 - 1 d y

x x 2 - 1 d x = y y 2 + 1 d y

Maravilha! Conseguimos separar as variáveis. Agora, podemos integrar dos dois lados:

∫ x x 2 - 1 d x = ∫ y y 2 + 1 d y

Podemos fazer uma substituição para cada um dos termos. No primeiro termo ficaria:

u = x 2 - 1 → d u = 2 x d x

∫ d u 2 u = ∫ y y 2 + 1 d y

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo termo:

v = y 2 + 1 → d v = 2 y d y

∫ d u 2 u = ∫ d v 2 v →   ∫ d u u = ∫ d v v

Com essas substituições, fica mais fácil fazer a integração:

ln ⁡ u + C = ln ⁡ v

Onde C é a constante de integração. Bom, se C é uma constante, ln ⁡ C também o é. Então podemos reescrever assim:

ln ⁡ u + ln ⁡ C = ln ⁡ v → ln ⁡ u . C = ln ⁡ v → u . C = v

Passo 2

Agora, que resolvemos a integral, podemos voltar às letras iniciais. Lembra que tínhamos feito as substituições: u = x 2 - 1 e v = y 2 + 1 .Então, teremos:

C ( x 2 - 1 ) = y 2 + 1

Resposta

C ( x 2 - 1 ) = y 2 + 1

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