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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

Equações Separáveis

Seja a equação diferencial:

d P d t = P 1 - 0,1 P

  1. Determine o comportamento da solução desta equação quando t → ∞ , dependendo do valor inicial P 0
  2. Encontre a solução Geral da equação diferencial

Passo 1

b )

Aqui temos uma situação incomum, vamos começar fazendo a letra b , isso porque primeiro vamos achar a função e depois vamos analisar o seu comportamento né?

Repara que temos um função só de P de um lado da equação. Essa equação é separável

Passo 2

Agora temos que isolar os termos com P para o lado que tem d P e os termos com t do outro

d P d t = P 1 - 0,1 P

⇒ d P P 1 - 0,1 P = d t

Passo 3

Agora, temos que integral os dois lados

∫ d P P 1 - 0,1 P = ∫ d t

A integral de t é tranquilinha de resolver.

∫ d t = t + C 1

Vamos agora integrar a de P que é um pouco mais complicadinha

∫ d P P 1 - 0,1 P

Vamos usar frações parciais em

1 P 1 - 0,1 P = A P + B 1 - 0,1 P

1 P 1 - 0,1 P = A 1 - 0,1 P + B P P 1 - 0,1 P

1 = A - 0,1 A P + B P

Vamos ter

A = 1

B - 0,1 A = 0

Resolvendo esse sistema vamos encontrar

A = 1

B = 0,1

A integral vai ficar

∫ d P P 1 - 0,1 P = ∫ d P P + ∫ 0,1 d P 1 - 0,1 P = ln ⁡ P - 0,1 0,1 ln ⁡ 1 - 0,1 P + C 2

⇒ ln ⁡ P - ln ⁡ 1 - 0,1 P + C 2 = ln ⁡ P 1 - 0,1 P + C 2

Passo 4

Voltando para as integrais vamos ter

∫ d P P 1 - 0,1 P = ∫ d t

ln ⁡ P 1 - 0,1 P + C 2 = t + C 1

Juntando as duas constantes vamos ter

ln ⁡ P 1 - 0,1 P = t + C

Aplicando as propriedades de log

P 1 - 0,1 P = e C e t = K e t

Vamos tirar esse módulo,

P 1 - 0,1 P = ± K e t

Podemos fazer ± K = C '

P 1 - 0,1 P = C ' e t

Multiplicando cruzado

P = C ' e t - 0,1 C ' P e t

P + 0,1 C ' P e t = C ' e t

P 1 + 0,1 C ' e t = C ' e t

P = C ' e t 1 + 0,1 C ' e t = C ' e t 1 + C ' e t 10 = C ' e t 10 + C ' e t 10 = 10 C ' e t 10 + C ' e t

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa função quando t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 10 C ' e t 10 + C ' e t = ∞ ∞

Vamos usar a regra de L’Hôspital

lim t → ∞ ⁡ 10 C ' e t 10 + C ' e t = lim t → ∞ ⁡ 10 C ' e t C ' e t = lim t → ∞ ⁡ 10 C ' C ' = 10 C ' C '

Podemos cortar esse C ' se ele não for 0 , então, considerando C ' ≠ 0

lim t → ∞ ⁡ 10 C ' e t 10 + C ' e t = 10

Considerando C ' = 0

lim t → ∞ ⁡ 10 C ' e t 10 + C ' e t = lim t → ∞ ⁡ 0 = 0

Sabemos o comportamento em função de C ' , vamos agora fazer a relação entre C ' e P 0

Passo 6

Sabendo que

P 0 = P 0

P 0 = 10 C ' e 0 10 + C ' e 0 = 10 C ' 10 + C '

Temos uma relação direta aqui, se C ' ≠ 0 então P 0 ≠ 0

Se C ' = 0 então P 0 = 0

Isso nos diz que

Se P 0 ≠ 0 então P t → 10 quando t → ∞

Se P 0 = 0 então P t → 0 quando t → ∞

Resposta

  1. Se P 0 ≠ 0 então P t → 10 quando t → ∞

    2. Se P 0 = 0 então P t → 0 quando t → ∞

  2. P = 10 C ' e t 10 + C ' e t

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