Considere o problema de valor inicial relativo à queda livre a partir do repouso, considerando a resistência do ar como uma força oposta ao movimento e proporcional à velocidade. A constante gravitacional é aproximadamente constante próxima à superfície da Terra.

( a ) Determine a solução v ( t ) do problema de valor inicial.

( b ) Determine em quanto tempo o corpo atinge o solo, se começa a 500   m de altura.

( c ) Neste item, considere   m ≈ b ≈ 1 , g ≈ 10 e obtenha um resultado aproximado.

Dica: Utilize a 2 ª lei de Newton m d v d t = ∑ i F i = peso + resistência do ar = m g - b v .

Dica: Oriente o eixo h verticalmente para baixo, colocando a origem na posição inicial.

Passo 1

Já enxergou a EDO que precisamos resolver? Tá bem ali na “Dica” do enunciado.

m d v d t = m g - b v

Essa EDO é variáveis separáveis, então fazemos a seguinte manipulação:

∫ d v m g - b v = ∫ d t m

- ln ⁡ m g - b v b = t m + C

m g - b v = A e - b t m

v t = m g b - A e - b t m b

Passo 2

Beleza, encontramos quem é v ( t ) , mas precisamos aplicar o PVI pra saber quem é a constante A . Para isso, usaremos a informação de que “a coisa” parte do repouso. Então:

v 0 = m g b - A b = 0 → A = m g

Logo,

v t = m g b - m g e - b t m b → v t = m g b 1 - e - b t m

Passo 3

Temos agora que determinar quando que “a coisa” atinge o solo, se parte de uma altura de 500   m . Vale ressaltar que

d h d t = v = m g b 1 - e - b t m

∫ d h = m g b ∫ 1 - e - b t m d t

h t = m g b t + m b e - b t m + B

Temos que saber quem é essa constante B . Novamente, vamos usar a dica dada pelo enunciado, onde ele diz que a partícula parte do ponto inicial, que é a origem.

h 0 = m g b m b + B   → B = - m 2 g b 2

Como queremos saber o tempo dado que h = 500 , temos:

500 = m g b t + m b e - b t m - m 2 g b 2

Passo 4

Agora devemos assumir m ≈ b ≈ 1 , g ≈ 10 :

500 = 10 t + e - t - 10

t ≈ 51 s

Resposta

a   v t = m g b 1 - e - b t m

b   500 = m g b t + m b e - b t m - m 2 g b 2

c   t ≈ 51 s

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