Considere a seguinte equação diferencial:

y' - (2x + x * cos(x)) / (2y) = 0

  1. Verifique se y(x) = x + (x * cos(x)) / 2 é uma solução para a equação diferencial.
  2. Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y(0) = 2 .

Passo 1

Podemos verificar se a função dada é solução plugando na equação:

y x = x + x cos ⁡ x 2 → y ' x = 1 + 1 2 cos ⁡ x - x   s e n x

Substituindo:

1 + 1 2 cos ⁡ x - x   s e n x - 2 x + x cos ⁡ x 2 x + x cos ⁡ x = 0

1 2 cos ⁡ x - x   s e n x = 0

Ou seja, não, a função dada não é solução.

Passo 2

Podemos encontrar a solução por separação de variáveis:

d y d x = 2 x + x cos ⁡ x 2 y

2 y d y = 2 x + x cos ⁡ x d x

Integrando ambos os lados:

y 2 + C = x 2 + ∫ x cos ⁡ x d x

Passo 3

Podemos resolver a equação nova com integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Fazendo:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ x d x → v = s e n x

∫ x cos ⁡ x d x = x   s e n x - ∫ s e n x d x

∫ x cos ⁡ x d x = x   s e n x + cos ⁡ x

Passo 4

Pondo tudo novamente no problema original:

y 2 + C = x 2 + ∫ x cos ⁡ x d x

y 2 + C = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + C '

Como a diferença de constantes é uma constante também:

y 2 = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + C

Podemos plugar a condição inicial:

y 0 = 2

y 0 2 = 0 2 + 0 × s e n 0 + cos ⁡ 0 + C

4 = 1 + C

C = 3

Portanto temos a solução:

y 2 = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + 3

Resposta

y x = x 2 + x   s e n x + cos ⁡ x + 3

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