UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº José de Albuquerque - Lista de Gráficos, L'hopital e problemas de otimização, Questão 9
9. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de cuja área seja a maior possível.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, queremos obter um retângulo que tenha de perímetro, mas que tenha a maior área possível.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.
Primeiro, para um retângulo de lado e altura , o perímetro é calculado como
Essa equação tem que ser satisfeita sempre.
E a equação da área do retângulo é dada por
Essa equação temos que maximizar.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Isolando uma das variáveis da equação do perímetro e substituindo na equação da área, temos
Substituindo em
Derivando para obter uma relação entre a taxa em variação de em função de , temos
Igualando a ...
Assim, vemos que é a medida que ser maior possível.
Substituindo em ...
Portanto, descobrimos que e .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
e