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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 1ª Lista, Questão 14

14. Calcule ∬ D 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 d x d y , sendo D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . (Sugestão: Faça x = a u e y = b v )

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que calcular a integral de 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 dentro da região D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . Para nos ajudar, o problema nos deu uma sugestão de substituir x = a u e y = b v .

Ficou mais fácil agora? 🤔

Fazendo essa substituição na integral, temos

∬ D 1 - a u 2 a 2 - b v 2 b 2 d a u d b v

∬ D 1 - a 2 u 2 a 2 - b 2 v 2 b 2 a b d u d v

∬ D 1 - u 2 - v 2 a b d u d v

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo na região D

D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 a u 2 a 2 + b v 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 a 2 u 2 a 2 + b 2 v 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 u 2 + v 2 ≤ 1

Essa equação que descreve D é exatamente igual a equação da circunferência, não é?

Assim, como temos uma simetria circular na região de integração podemos converter as coordenadas mais uma vez para coordenadas polares.

Nessa conversão, fazemos u = r c o s θ , v = r s e n θ e u 2 + v 2 = r 2 . Por essa última equação, se comparado com a equação de D , u 2 + v 2 ≤ 1 , vemos que r ≤ 1 , ou seja, 0 ≤ r ≤ 1 .

E como D é definido em toda a circunferência, o ângulo θ cobre toda a volta da circunferência, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Sacou? 😉

Passo 3

Montando a integral lembrando de multiplicar a fun��ão de integração pelo jacobiano da transformação r , temos

∬ D 1 - u 2 - v 2 a b d u d v → ∬ D 1 - r 2 a b r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 a b r d r d θ

Integrando em r pelo método de substituição fazendo p = 1 - r 2 e d p = - 2 r d r .

Adaptando os limites de integração...

r f = 1 → p f = 1 - 1 2

p f = 0

r i = 0 → p i = 1 - 0 2

p i = 1

então

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ → ∫ 0 2 π a b ∫ 1 0 - p 2 d p d θ

Integrando pelo método de integração polinomial, temos

∫ - p 2 d p = - p 1 2 + 1 2 1 2 + 1 = - p 3 2 3

Aplicando os limites de integração

∫ 1 0 - p 2 d p = - 0 3 2 3 - - 1 3 2 3 = 1 3

Integrando o resultado em função de θ

∫ 0 2 π a b 3 d θ = a b θ 3 0 2 π

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ = 2 π a b 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ = 2 π a b 3

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