Calcule o momento de Inercia I₀ com relação a origem de D = { (x, y) : x^2 + y^2 ≥ 1, (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) ≤ 1 } , onde a > 1, b > 1 e a função densidade δ(x, y) = 1.

Passo 1

Beleza meu caro colega? Agora iremos calcular o momento de inercia de uma região D interessantes, e o melhor a fazer antes de tudo é descobrir quem é a região D para que possamos escolher a melhor técnica de integração e uma possível parametrização.

A região D é a região compreendida exteriormente a uma circunferência de raio 1 e interiormente a uma elipse. Uma excelente forma de parametrizarmos a elipse é com

{ x = a r cos ⁡ θ y = b r sin ⁡ θ ,   { 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1

J = acos ⁡ θ b sin ⁡ θ - a r sin ⁡ θ b r cos ⁡ θ = a b r

Passo 2

O momento de inercia total da situação, vai ser o momento de inercia de elipse menos o momento de inercia da circunferência.

I 0 = I x + I y e l i p s e - I x + I y c i r c

Já iremos partir utilizando as parametrizações que foram expostas previamente,

= ( ∫ 0 2 π ∫ 0 1 b 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ∙ a b r d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ∙ a b r d r d θ ) - ( ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 sin 2 ⁡ θ r d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ r d r d θ )

= ∫ 0 2 π a b 3 sin 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ + ∫ 0 2 π a 3 b cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ - ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ - ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ

= a b 3 4 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ + a 3 b 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ - 1 4 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ - 1 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

= a b 3 - 1 8 θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 2 π + a 3 b - 1 θ + sin ⁡ θ c o s θ 0 2 π 8

= a b 3 - 1 4 π + a 3 b - 1 4 π

= a b 3 4 π - π 4 + a 3 b 4 π - π 4

= π a b ( a 2 + b 2 ) 4 - π 2

Resposta

= π a b ( a 2 + b 2 ) 4 - π 2

Exercícios de Livros Relacionados