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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 14c

Calcule o momento de Inercia I 0 com relação a origem de D = { x , y : x 2 + y 2 ≥ 1 , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 } , onde a > 1 ,   b > 1   e a função densidade δ x , y = 1 .

Passo 1

Beleza meu caro colega? Agora iremos calcular o momento de inercia de uma região D interessantes, e o melhor a fazer antes de tudo é descobrir quem é a região D para que possamos escolher a melhor técnica de integração e uma possível parametrização.

A região D é a região compreendida exteriormente a uma circunferência de raio 1 e interiormente a uma elipse. Uma excelente forma de parametrizarmos a elipse é com

{ x = a r cos ⁡ θ y = b r sin ⁡ θ ,   { 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1

J = acos ⁡ θ b sin ⁡ θ - a r sin ⁡ θ b r cos ⁡ θ = a b r

Passo 2

O momento de inercia total da situação, vai ser o momento de inercia de elipse menos o momento de inercia da circunferência.

I 0 = I x + I y e l i p s e - I x + I y c i r c

Já iremos partir utilizando as parametrizações que foram expostas previamente,

= ( ∫ 0 2 π ∫ 0 1 b 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ∙ a b r d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ∙ a b r d r d θ ) - ( ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 sin 2 ⁡ θ r d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ r d r d θ )

= ∫ 0 2 π a b 3 sin 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ + ∫ 0 2 π a 3 b cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ - ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ - ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ r 4 4 0 1 d θ

= a b 3 4 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ + a 3 b 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ - 1 4 ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ - 1 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

= a b 3 - 1 8 θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 2 π + a 3 b - 1 θ + sin ⁡ θ c o s θ 0 2 π 8

= a b 3 - 1 4 π + a 3 b - 1 4 π

= a b 3 4 π - π 4 + a 3 b 4 π - π 4

= π a b ( a 2 + b 2 ) 4 - π 2

Resposta

= π a b ( a 2 + b 2 ) 4 - π 2

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}